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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 变量与区间 1

1.1.2 函数 2

1.1.3 初等函数 4

思考题 7

习题1-1 7

1.2 函数的极限 7

1.2.1 数列的极限 8

1.2.2 函数的极限 8

1.2.3 无穷小与无穷大 10

思考题 11

习题1-2 11

1.3 极限的运算 12

1.3.1 极限的运算法则 12

1.3.2 两个重要极限 13

1.3.3 无穷小的比较 14

思考题 15

习题1-3 15

1.4 函数的连续性 16

1.4.1 函数连续性的定义 16

1.4.2 间断点及其分类 17

1.4.3 连续函数的运算 19

1.4.4 闭区间上连续函数的性质 19

思考题 20

习题1-4 20

本章知识小结 21

自测题1 22

习题与自测题参考答案 23

第2章 导数与微分 25

2.1 导数的概念 25

2.1.1 导数的定义 25

2.1.2 导数的几何意义 27

2.1.3 可导与连续的关系 27

2.1.4 几个求导公式 28

思考题 29

习题2-1 29

2.2 函数的求导法则（一） 30

2.2.1 函数的四则运算求导法则 30

2.2.2 复合函数求导法则 31

2.2.3 反函数的求导法则 32

2.2.4 求导公式和法则 33

思考题 34

习题2-2 34

2.3 函数的求导法则（二） 35

2.3.1 高阶导数 35

2.3.2 隐函数求导法 36

2.3.3 参数方程求导 37

思考题 38

习题2-3 38

2.4 函数的微分 39

2.4.1 微分的定义 39

2.4.2 微分的几何意义 40

2.4.3 微分的运算法则 40

2.4.4 微分形式的不变性 41

2.4.5 微分在近似计算中的应用 42

思考题 42

习题2-4 43

本章知识小结 43

自测题2 45

习题与自测题参考答案 46

第3章 导数的应用 49

3.1 微分中值定理 49

3.1.1 罗尔定理 49

3.1.2 拉格朗日微分中值定理 50

思考题 52

习题3-1 52

3.2 洛必达法则 53

3.2.1 洛必达法则 53

3.2.2 求0/0型或∞/∞型未定式的极限举例 53

思考题 54

习题3-2 54

3.3 函数和曲线的性态讨论 54

3.3.1 函数单调性的判定 54

3.3.2 函数的极值 56

3.3.3 曲线的凹凸性 58

3.3.4 函数的作图 59

思考题 61

习题3-3 61

3.4 最大值和最小值问题 62

3.4.1 闭区间上函数的最大（小）值 62

3.4.2 实际问题的最大（小）值 63

思考题 64

习题3-4 64

本章知识小结 64

自测题3 66

习题与自测题参考答案 67

第4章 不定积分 69

4.1 不定积分的概念 69

4.1.1 原函数的概念 69

4.1.2 不定积分的概念 70

4.1.3 基本积分公式 71

思考题 71

习题4-1 71

4.2 不定积分的性质和直接积分法 72

4.2.1 不定积分的性质 72

4.2.2 直接积分法 72

思考题 73

习题4-2 73

4.3 不定积分的换元法 73

4.3.1 第一类换元积分法（凑微分法） 74

4.3.2 第二类换元积分法 76

思考题 78

习题4-3 78

4.4 不定积分的分部积分法 79

思考题 81

习题4-4 81

本章知识小结 81

自测题4 82

习题与自测题参考答案 84

第5章 定积分及其应用 86

5.1 定积分的概念 86

5.1.1 引例 86

5.1.2 定积分的定义 88

5.1.3 定积分的几何意义 88

5.1.4 定积分的性质 90

思考题 93

习题5-1 93

5.2 微积分的基本公式 94

5.2.1 变上限的定积分 94

5.2.2 牛顿—莱布尼兹公式 95

思考题 96

习题5-2 96

5.3 定积分的换元法和分部积分法 97

5.3.1 定积分的换元法 97

5.3.2 定积分的分部积分法 98

思考题 99

习题5-3 99

5.4 广义积分 100

5.4.1 无穷区间上的广义积分 100

5.4.2 无界函数的广义积分 101

思考题 103

习题5-4 103

5.5 定积分的应用 103

5.5.1 微元法 103

5.5.2 几何应用 104

5.5.3 物理应用 106

5.5.4 经济应用 107

5.5.5 函数的平均值 108

思考题 109

习题5-5 109

本章知识小结 110

自测题5 112

习题与自测题参考答案 114

第6章 常微分方程 116

6.1 常微分方程的基本概念 116

6.1.1 引例 116

6.1.2 定义 117

6.1.3 可分离变量的微分方程 117

6.1.4 一阶齐次微分方程 118

思考题 119

习题6-1 119

6.2 一阶线性微分方程 120

6.2.1 一阶线性微分方程与常数变易法 120

6.2.2 一阶线性微分方程求解举例 121

思考题 122

习题6-2 122

6.3 二阶常系数线性微分方程 123

6.3.1 二阶常系数线性微分方程的概念 123

6.3.2 二阶常系数线性微分方程解的结构 123

6.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 124

6.3.4 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 126

思考题 127

习题6-3 128

6.4 微分方程应用举例 128

习题6-4 130

本章知识小结 131

自测题6 133

习题与自测题参考答案 134

第7章 多元函数微分学 136

7.1 多元函数的概念、极限与连续 136

7.1.1 平面区域 136

7.1.2 多元函数的概念 137

7.1.3 二元函数的极限与连续 139

思考题 140

习题7-1 141

7.2 偏导数 141

7.2.1 偏导数的概念 141

7.2.2 高阶偏导数 143

思考题 144

习题7-2 144

7.3 全微分 144

7.3.1 全微分的概念 145

7.3.2 全微分在近似计算中的应用 146

思考题 147

习题7-3 147

7.4 多元函数的求导法则 148

7.4.1 多元复合函数的求导法则 148

7.4.2 隐函数的求导法则 149

思考题 150

习题7-4 150

7.5 多元函数的极值 150

7.5.1 无条件极值 151

7.5.2 条件极值 153

思考题 154

习题7-5 154

本章知识小结 155

自测题7 157

习题与自测题参考答案 158

第8章 多元函数积分学 161

8.1 二重积分的概念和性质 161

8.1.1 二重积分的概念 161

8.1.2 二重积分的性质 162

思考题 163

习题8-1 163

8.2 二重积分的计算 163

8.2.1 直角坐标系下的计算方法 164

8.2.2 极坐标系下的计算方法 169

思考题 172

习题8-2 172

8.3 二重积分的应用举例 173

8.3.1 几何上的应用（求体积） 173

8.3.2 物理上的应用 175

思考题 176

习题8-3 176

8.4 曲线积分 177

8.4.1 对弧长的曲线积分 177

8.4.2 对坐标的曲线积分 179

8.4.3 格林公式 183

8.4.4 平面上的曲线积分与路径无关的条件 185

思考题 187

习题8-4 187

本章知识小结 188

自测题8 191

习题与自测题参考答案 193

第9章 无穷级数 195

9.1 级数概述 195

9.1.1 级数的概念 195

9.1.2 常数项级数 196

9.1.3 常数项级数的性质 197

9.1.4 级数收敛的必要条件 198

思考题 198

习题9-1 198

9.2 傅里叶级数 199

9.2.1 函数项级数 199

9.2.2 三角级数 199

9.2.3 三角函数系的正交性 200

9.2.4 周期为2π的函数展开为傅里叶级数 201

9.2.5 具有某种对称性的函数的傅里叶级数 205

思考题 208

习题9-2 208

9.3 周期为2l的函数展开为傅里叶级数 209

9.3.1 周期为2l的函数展开为傅里叶级数 209

9.3.2 傅里叶级数的复数形式 211

思考题 213

习题9-3 213

9.4 幂级数 214

9.4.1 幂级数及其收敛性 214

9.4.2 收敛半径 收敛域 215

9.4.3 幂级数和函数的性质 216

9.4.4 函数展开成幂级数 217

思考题 219

习题9-4 219

本章知识小结 220

自测题9 222

习题与自测题参考答案 222

第10章 线性代数初步 225

10.1 n阶行列式 225

10.1.1 全排列及其逆序数 225

10.1.2 n阶行列式的定义 226

10.1.3 n阶行列式的性质 227

10.1.4 行列式按行（列）展开 228

10.1.5 克莱姆法则 230

思考题 231

习题10-1 231

10.2 矩阵的概念及其运算 232

10.2.1 矩阵的概念 232

10.2.2 矩阵的运算 234

思考题 237

习题10-2 238

10.3 矩阵的初等变换、逆矩阵 238

10.3.1 矩阵的初等变换 238

10.3.2 逆矩阵的概念 239

10.3.3 逆矩阵的求法 241

思考题 243

习题10-3 243

10.4 矩阵的秩 244

10.4.1 矩阵秩的定义 244

10.4.2 用初等变换求矩阵的秩 245

思考题 246

习题10-4 246

10.5 线性方程组 247

10.5.1 线性方程组有解的判定定理 247

10.5.2 用初等变换解线性方程组 249

10.5.3 齐次线性方程组 250

思考题 252

习题10-5 252

本章知识小结 253

自测题10 254

习题与自测题参考答案 254

第11章 概率论初步 257

11.1 概率论基本概念 257

11.1.1 随机现象与随机试验 257

11.1.2 随机事件与基本空间 257

11.1.3 事件间的关系 259

思考题 261

习题11-1 261

11.2 随机事件的概率及其计算 262

11.2.1 概率的统计定义 262

11.2.2 概率的古典定义 263

思考题 266

习题11-2 266

11.3 条件概率与乘法公式 267

11.3.1 条件概率 267

11.3.2 乘法公式 268

11.3.3 独立性 269

思考题 269

习题11-3 270

11.4 全概率公式与逆概率公式 270

习题11-4 273

11.5 贝努里概型 273

习题11-5 275

11.6 随机变量 275

11.6.1 随机变量的概念 276

11.6.2 离散型随机变量及其分布 277

11.6.3 随机变量的分布函数 279

11.6.4 二项分布、泊松分布 280

11.6.5 连续型随机变量及其分布 283

11.6.6 均匀分布、指数分布、正态分布 286

思考题 290

习题11-6 290

11.7 随机变量的数字特征 292

11.7.1 随机变量的数学期望 292

11.7.2 方差及其性质 297

思考题 300

习题11-7 300

11.8 概率在经济工作中的应用举例 301

11.8.1 随机型的存贮问题 301

11.8.2 保险问题 303

习题11-8 304

本章知识小结 305

自测题11 309

习题与自测题参考答案 311

附录 315

附录A 初等数学中的常用公式 315

附录B 常用积分公式表 318

附录C 希腊字母 321

附录D 概率论附表 322

参考文献 325