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第1章　数学物理方程的一些基本知识 1

1.1 三类典型方程的推导 1

1.1.1 弦振动方程与定解条件 1

1.1.2　热传导方程与定解条件 6

1.1.3　位势方程与定解条件 10

1.1.4　定解问题及其适定性 11

1.2　偏微分方程的一些基本概念和分类 13

1.2.1 基本概念 13

1.2.2　二阶线性偏微分方程的分类 15

1.2.3　方程的化简与积分曲线 16

1.3　叠加原理与齐次化原理 20

1.3.1　叠加原理 20

1.3.2　齐次化原理 21

1.4　习题 23

第2章　分离变量法 25

2.1 有界弦的自由振动 25

2.2　有限长杆上的热传导 35

2.3　Laplace方程的边值问题 40

2.3.1　矩形域上Laplace方程的边值问题 40

2.3.2　圆域内Laplace方程的边值问题 44

2.4　非齐次方程的求解问题 48

2.4.1　特征函数法 49

2.4.2　齐次化原理 52

2.5　非齐次边界条件的齐次化 54

2.6　高维、高阶方程定解问题的分离变量法 60

2.7　习题 65

第3章　积分变换法 69

3.1 Fourier变换的定义和性质 69

3.1.1　Fourier积分与Fourier变换 69

3.1.2　Fourier变换的基本性质 72

3.2　Fourier变换在求解偏微分方程定解问题中的应用 77

3.3　Laplace变换的定义和基本性质 80

3.4　Laplace变换在求解偏微分方程定解问题中的应用 84

3.5　小波变换简介 86

3.5.1　连续小波变换 87

3.5.2　窗口宽度与Heisenberg测不准原理 90

3.5.3　离散小波变换 91

3.6　习题 93

第4章　行波法与降维法 95

4.1 一维波动方程 95

4.1.1 无限长弦的自由振动问题 95

4.1.2　半无限长弦的自由振动问题 101

4.1.3　一维非齐次波动方程的初值问题 102

4.2　高维波动方程的初值问题 103

4.2.1　三维波动方程的球对称解 103

4.2.2　三维波动方程的Kirchhoff公式 105

4.2.3　二维波动方程的Poisson公式 109

4.2.4　波动方程解的物理意义 111

4.3　习题 113

第5章　Green函数法 115

5.1 积分学中的几个重要公式 115

5.2　Laplace方程的边值问题和基本解 116

5.2.1　Laplace方程的边值问题 116

5.2.2　Laplace方程的基本解 117

5.3　调和函数的基本积分公式和性质 119

5.3.1　调和函数的基本积分公式 119

5.3.2　调和函数的基本性质 120

5.4　Green函数 123

5.4.1　Green函数的引入 123

5.4.2　Green函数的性质 125

5.5　Green函数的求法 126

5.5.1　半空间上的Green函数及Dirichlet问题 127

5.5.2　球域上的Green函数及Dirichlet问题 128

5.6　习题 131

第6章　Bessel函数 133

6.1　Bessel方程和Bessel函数 133

6.1.1　Bessel方程的引出 133

6.1.2　Bessel函数 135

6.2　Bessel函数的递推公式 138

6.3 函数展成Bessel函数的级数 142

6.3.1 Bessel方程的特征值与特征函数 142

6.3.2　Bessel函数的正交性及其模 143

6.3.3　Fourier-Bessel级数 145

6.4　Bessel函数的应用 146

6.5　习题 148

第7章　Legendre多项式 151

7.1　Legendre方程及其解法 151

7.1.1　Legendre方程的导出 151

7.1.2　Legendre方程的解法 153

7.2　Legendre多项式 154

7.3 函数展成Legendre多项式的级数 158

7.3.1　Legendre多项式的正交性 158

7.3.2　Legendre多项式的模 158

7.3.3　Legendre多项式的级数 160

7.4　Legendre多项式的应用举例 163

7.5　连带Legendre函数 164

7.6　习题 166

第8章　变分法 168

8.1 变分法的一些基本概念 168

8.1.1　泛函的概念 168

8.1.2　泛函的极值 169

8.2　泛函极值的必要条件 171

8.2.1　依赖一个一元函数的泛函极值问题 171

8.2.2　依赖多个一元函数的泛函极值问题 175

8.2.3　依赖多元函数的泛函极值问题 175

8.3　泛函的条件极值问题 177

8.4　变分问题直接法 179

8.5　习题 183

附录 186

附录A　积分变换表 186

表A.1　Fourier变换简表 186

表A-2　Laplece变换简表 186

附录B　Bessel函数表 188

附录C　Jn（x）的前9个正零点μ？的近似值 188

部分习题参考答案 189

参考文献 199