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第一章 命题逻辑 1

1.1 命题和联结词 1

1.1.1 命题 1

1.1.2 命题联结词 2

1.1.3 命题表达式 5

1.1.4 真值表的构造 5

1.1.5 命题符号化 6

1.2 重言式 7

1.2.1 指派 7

1.2.2 重言式 7

1.2.3 逻辑等价 8

1.2.4 永真蕴含 8

1.2.5 代入规则与替换规则 9

1.2.6 对偶原理 11

1.3 公式中的范式 11

1.3.1 析取范式和合取范式 12

1.3.2 主析取范式 13

1.3.3 主合取范式 14

1.4 命题联结词的扩充与归约 15

1.4.1 命题联结词的扩充 15

1.4.2 命题联结词的规约 16

1.5 基于命题的推理 17

1.5.1 基于真值表的推理 17

1.5.2 基于推理规则的推理 17

1.5.3 应用实例 19

1.6 习题 21

第二章 谓词逻辑 24

2.1 谓词公式 24

2.1.1 个体 24

2.1.2 谓词 25

2.1.3 量词 26

2.1.4 命题符号化 26

2.1.5 谓词公式 27

2.2 约束 28

2.2.1 约束部分 28

2.2.2 换名规则和代替规则 29

2.2.3 公式的解释 29

2.3 谓词公式中的永真式 30

2.3.1 谓词公式的等价 30

2.3.2 谓词公式的永真 31

2.3.3 谓词公式的可满足 31

2.3.4 永真公式 31

2.3.5 代入规则、替换规则与对偶原理 32

2.4 谓词公式中的范式 33

2.4.1 前束范式 33

2.4.2 斯柯林范式 35

2.5 谓词推理 35

2.5.1 推理规则 35

2.5.2 举例 37

2.6 习题 38

第三章 集合论 41

3.1 基本概念 41

3.2 集合间的关系 43

3.3 集合的运算 44

3.3.1 集合的基本运算 44

3.3.2 集合的运算律 47

3.3.3 例题 47

3.4 包含排斥原理 48

3.4.1 两个集合的包含排斥原理 48

3.4.2 三个集合的包含排斥原理 49

3.4.3 多个集合的包含排斥原理 50

3.5 幂集合与笛卡儿乘积 52

3.5.1 幂集合 52

3.5.2 笛卡儿乘积 53

3.6 集合运算与基数概念的扩展 55

3.6.1 并集、交集的扩展 55

3.6.2 基数概念的扩展 56

3.7 习题 59

第四章 二元关系 63

4.1 基本概念 63

4.1.1 二元关系的定义 63

4.1.2 关系的运算 64

4.2 关系的基本性质 64

4.2.1 自反性 64

4.2.2 对称性 65

4.2.3 传递性 66

4.2.4 反自反性 66

4.2.5 反对称性 67

4.3 复合关系 68

4.4 关系的表示 70

4.4.1 用矩阵表示关系 71

4.4.2 用图表示关系 71

4.4.3 特定关系的矩阵及其关系图的属性 72

4.4.4 复合关系的关系矩阵 75

4.5 逆关系 76

4.5.1 逆关系的定义 76

4.5.2 逆关系的性质 77

4.6 关系的闭包 79

4.6.1 自反，对称和传递闭包 79

4.6.2 闭包的性质及求法 79

4.7 集合的划分和覆盖 83

4.7.1 划分 83

4.7.2 交叉划分 83

4.7.3 加细 84

4.8 等价关系与等价类 84

4.8.1 等价关系 84

4.8.2 等价类 86

4.8.3 划分与等价关系 87

4.9 偏序 88

4.9.1 引言 88

4.9.2 字典顺序 91

4.9.3 哈塞图 92

4.9.4 极大元素与极小元素 94

4.9.5 格 96

4.10 函数 97

4.10.1 函数的定义 97

4.10.2 函数的合成 98

4.10.3 特殊函数类 98

4.11 习题 100

第五章 图论 105

5.1 若干图论经典问题 105

5.1.1 哥尼斯堡七桥问题 105

5.1.2 环球旅行问题 105

5.1.3 四色问题 106

5.2 图与图的矩阵表示 106

5.3 路与连通度 110

5.4 欧拉图与哈密尔顿图 115

5.5 二部图与匹配 117

5.6 平面图 121

5.7 树 123

5.7.1 树及其性质 123

5.7.2 最小生成树 125

5.7.3 有向树 128

5.8 最大流问题 135

5.8.1 网络最大流基本概念 135

5.8.2 最大流与最小割 136

5.8.3 最大流算法 136

5.8.4 最大流算法应用 140

5.9 习题 141

第六章 代数系统 148

6.1 二元运算及性质 148

6.1.1 二元运算的定义 148

6.1.2 二元运算的性质 149

6.2 代数系统 153

6.2.1 代数系统的定义与实例 153

6.2.2 代数系统的同构与同态 154

6.3 半群 158

6.3.1 半群 158

6.3.2 单位元和逆元 159

6.4 群 163

6.4.1 群的定义 163

6.4.2 群的同态 166

6.4.3 循环群 169

6.4.4 变换群 172

6.4.5 置换群 175

6.4.6 子群 179

6.4.7 子群的陪集 182

6.4.8 不变子群和商群 185

6.5 环和域简介 187

6.5.1 环 187

6.5.2 域 189

6.6 习题 190

主要参考文献 195