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第零章 预备知识 1

记号 1

0.1 局部化 2

0.2 代数扩张 2

0.3 态射扩张 4

0.4 Galois扩张 7

0.5 迹和范 10

0.6 有限域 12

0.7 过滤 12

0.8 无穷扩张 13

0.9 特征标 18

习题 24

第一部分 数域论 31

第一章 理想 33

1.1 Dedekind环 34

1.2 理想的分解 36

1.3 Dedekind环扩张 39

1.4 理想的迹和范 44

1.5 判别式 46

1.6 Hilbert分歧理论 48

1.7 理想类群 51

1.8 Picard群 53

1.9 Grothendieck群 56

习题 61

第二章 格 65

2.1 Minkowski理论 65

2.2 加性结构 67

2.3 乘性结构 69

2.4 理想估值 69

2.5 L-函数 74

2.6 密度 77

习题 82

第三章 完备域 85

3.1 赋值域 86

3.2 赋值域扩张 93

3.3 完备域扩张 96

3.4 局部数域 102

3.5 形式群 112

3.6 数域的赋值 117

习题 119

第四章 类群 123

4.1 加元环 124

4.2 理元群 126

4.3 理元类群 128

4.4 理想 129

习题 130

第二部分 同调论 133

第五章 上同调群 135

5.1 有限群的同调群 136

5.2 张量积 151

5.3 Tate定理 158

5.4 射影有限群的同调群 160

5.5 类成 161

5.6 域的上同调 165

5.7 Kummer扩张 166

习题 168

第六章 局部域的上同调群 173

6.1 无分歧扩张 173

6.2 局部互反律 175

6.3 分圆域 181

习题 183

第七章 理元类的上同调群 185

7.1 理元的上同调群 186

7.2 计算H1 191

7.3 计算H2 196

7.4 整体互反律 202

7.5 Weil群 206

7.6 注记 211

习题 211

第八章 对偶定理 215

8.1 有限群的同调群 216

8.2 射影有限群的上同调群 217

8.3 谱序列 220

8.4 成对偶模 225

8.5 类成对偶 229

8.6 局部对偶 231

8.7 整体对偶 232

8.8 Pi和Ⅲ 235

8.9 Poitou-Tate序列 238

8.10 后记：上同调理论和数论 245

习题 262

第三部分p进理论 265

第九章 p进分析 267

9.1 Cp 268

9.2 滤子 270

9.3 球完备性 272

9.4 Banach空间 279

9.5 Frechet空间 284

9.6 算子空间 289

9.7 p进插值 290

9.8 p进测度 293

习题 299

第十章 赋值环 303

10.1 光滑环 304

10.2 离散赋值环 306

10.3 Witt环 314

10.4 Hensel环 318

10.5 Cohen环 321

10.6 分歧群 325

10.7 单位群 332

10.8 最大交换扩张 337

10.9 全分歧Zp扩张 347

10.10 范域 351

10.11 完全化 357

习题 370

第十一章 Galois表示 373

11.1 晶体 373

11.2 CK 381

11.3 非交换1上同调 383

11.4 在GLn （Cp）的上同调 385

11.5 ？模 391

11.6 ？-Г模 396

11.7 幂级数环 397

11.8 周期环 403

11.9 e进Galois表示 416

11.10 p进Galois表示 424

习题 433

第十二章 L-函数 437

12.1 调和分析 437

12.2 特征标 444

12.3 Z积分 448

12.4 Hecke L-函数 454

12.5 Artin L-函数 457

习题 467

第四部分 补充材料 469

附录：代数数论百年历史回顾及分期初探 471

A.1 奠基时代 471

A.2 第一波——类域论 473

A.3 第二波——p进世界 474

A.4 第三波——代数群的调和分析 476

A.5 第四波——算术代数几何学 481

A.6 第五波——世界大同伦 483

索引 487