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历史介绍 1

第一章 算术基本定理 11

1.1 引言 11

1.2 整除性 12

1.3 最大公约数 12

1.4 素数 14

1.5 算术基本定理 15

1.6 素数倒数的级数 16

1.7 欧几里得算法 17

1.8 两个以上的数的最大公约数 18

第一章 习题 18

第二章 数论函数与迪利克雷乘积 21

2.1 引言 21

2.2 麦比乌斯函数μ（n） 21

2.3 欧拉函数？（n） 22

2.4 ？与μ的相互关系 23

2.5 ？（n）的一个乘积公式 24

2.6 数论函数的迪利克雷乘积 25

2.7 迪利克雷逆函数与麦比乌斯反转公式 27

2.8 曼戈尔特（Mangoldt）函数？（n） 28

2.9 积性函数 29

2.10 积性函数与迪利克雷乘积 31

2.11 完全积性函数的逆函数 32

2.12 刘维尔函数λ（n） 33

2.13 除数函数σa（n） 33

2.14 广义卷积 34

2.15 形式幂级数 36

2.16 数论函数的贝尔级数 37

2.17 贝尔级数与迪利克雷乘积 38

2.18 数论函数的导数 39

2.19 塞尔伯格等式 40

第二章 习题 41

第三章 数论函数的平均值 46

3.1 引言 46

3.2 大O符号，函数的渐近等式 47

3.3 欧拉求和公式 48

3.4 几个基本渐近公式 49

3.5 d（n）的平均阶 50

3.6 除数函数σa（n）的平均阶 53

3.7 ？（n）的平均阶 54

3.8 对于由原点可见的格点分布的应用 55

3.9 μ（n）与？（n）的平均阶 57

3.10 迪利克雷乘积的部分和 58

3.11 对μ（n）与？（n）的应用 58

3.12 迪利克雷乘积的部分和的另一个等式 61

第三章 习题 62

第四章 素数分布的几个基本定理 66

4.1 引言 66

4.2 切比雪夫函数ψ（x）与？（x） 67

4.3 联系？（x）与π（x）的关系式 68

4.4 素数定理的几个等价形式 70

4.5 π（n）与pn的一些不等式 73

4.6 夏皮罗陶伯型定理 76

4.7 夏皮罗定理的应用 78

4.8 部分和∑ p≤x（1/p）的一个渐近公式 80

4.9 麦比乌斯函数的部分和 81

4.10 素数定理初等证明的简短概述 87

4.11 塞尔伯格渐近公式 88

第四章 习题 89

第五章 同 余 95

5.1 同余的定义与基本性质 95

5.2 剩余类与完全剩余系 98

5.3 一次同余式 99

5.4 简化剩余系与欧拉-费马定理 101

5.5 模p的多项式同余式，拉格朗日定理 102

5.6 拉格朗日定理的应用 103

5.7 一次同余式组，中国剩余定理 104

5.8 中国剩余定理的应用 105

5.9 模是素数方幂的多项式同余式 107

5.10 交叉分类原理 109

5.11 简化剩余系的分解性 111

第五章 习题 112

第六章 有限阿贝尔群及其特征 115

6.1 定义 115

6.2 群和子群的例子 116

6.3 群的基本性质 116

6.4 子群的结构 117

6.5 有限阿贝尔群的特征 119

6.6 特征群 121

6.7 特征的正交关系式 121

6.8 迪利克雷特征 123

6.9 含有迪利克雷特征的和 125

6.10 对于实的非主特征χ，L（1，χ）不等于零 127

第六章 习题 129

第七章 算术级数里素数的迪利克雷定理 131

7.1 引言 131

7.2 形如4n-1和4n＋1的素数的迪利克雷定理 132

7.3 迪利克雷定理的证明方案 133

7.4 引理7.4 的证明 135

7.5 引理7.5 的证明 135

7.6 引理7.6 的证明 137

7.7 引理7.8 的证明 137

7.8 引理7.7 的证明 138

7.9 算术级数里素数的分布 139

第七章 习题 140

第八章 周期数论函数与高斯和 141

8.1 模k的周期函数 141

8.2 周期数论函数的有限傅里叶级数的存在性 142

8.3 拉马努然和及其推广 144

8.4 和Sk（n）的乘法性质 146

8.5 与迪利克雷特征相伴的高斯和 148

8.6 具有非零高斯和的迪利克雷特征 150

8.7 诱导模与本原特征 151

8.8 诱导模的进一步的性质 152

8.9 特征的前导子 154

8.10 本原特征与可分的高斯和 154

8.11 迪利克雷特征的有限傅里叶级数 155

8.12 本原特征部分和波利亚不等式 156

第八章 习题 158

第九章 二次剩余与二次互反律 161

9.1 二次剩余 161

9.2 勒让德符号及其性质 162

9.3 （-1/p）与（2/p）的值 164

9.4 高斯引理 165

9.5 二次互反律 168

9.6 互反律的应用 170

9.7 雅可比符号 172

9.8 对丢番图方程的应用 175

9.9 高斯和与二次互反律 176

9.10 二次高斯和的互反律 179

9.11 二次互反律的另一个证明 185

第九章 习题 185

第十章 原 根 188

10.1 数的次数mod m，原根 188

10.2 原根与简化剩余系 189

10.3 对α≥3，模2a的原根不存在 189

10.4 对奇素数p，模p的原根存在 190

10.5 原根与二次剩余 191

10.6 模pα的原根存在 192

10.7 模2pα的原根存在 194

10.8 其他情况下原根不存在 194

10.9 模m的原根的个数 195

10.10 指数的计算 197

10.11 原根与迪利克雷特征 200

10.12 模pα的实值迪利克雷特征 202

10.13 模pα的本原迪利克雷特征 203

第十章 习题 204

第十一章 迪利克雷级数与欧拉乘积 207

11.1 引 言 207

11.2 迪利克雷级数绝对收敛的半平面 208

11.3 由迪利克雷级数定义的函数 209

11.4 迪利克雷级数的乘积 211

11.5 欧拉乘积 213

11.6 迪利克雷级数收敛的半平面 215

11.7 迪利克雷级数的解析性质 217

11.8 具有非负系数的迪利克雷级数 219

11.9 迪利克雷级数表示为迪利克雷级数的指数 220

11.10 迪利克雷级数的平均值公式 222

11.11 迪利克雷级数系数的一个积分公式 224

11.12 迪利克雷级数部分和的一个积分公式 225

第十一章 习题 229

第十二章 函数ξ（s）和L（s，χ） 232

12.1 引言 232

12.2 伽马函数的性质 233

12.3 胡尔维茨zeta函数的积分表示 234

12.4 胡尔维茨zeta函数的围道积分表示 236

12.5 胡尔维茨zeta函数的解析开拓 237

12.6 ξ（s）与L（s，χ）的解析开拓 238

12.7 ξ（s，a）的胡尔维茨公式 239

12.8 黎曼zeta函数的函数方程 242

12.9 胡尔维茨zeta函数的函数方程 243

12.10 L-函数的函数方程 244

12.11 求ξ（-n，a）的值 246

12.12 伯努利数与伯努利多项式的性质 247

12.13 L（0，χ）的公式 250

12.14 用有限和逼近ξ（s，a） 251

12.15 ｜ξ（s，a）｜的不等式 253

12.16 ｜ξ（s）｜与｜L（s，χ）｜的不等式 255

第十二章 习题 256

第十三章 素数定理的解析证明 261

13.1 证明的方案 261

13.2 引理 263

13.3 ？的围道积分表示 266

13.4 直线σ＝1附近｜ξ（s）｜与｜ξ（s）｜的上界 268

13.5 在直线σ＝1上ξ（s）不为零 269

13.6 ？与？的不等式 271

13.7 素数定理证明的完成 272

13.8 ξ（s）的无零点区域 275

13.9 黎曼假设 277

13.10 对除数函数的应用 277

13.11 对欧拉函数的应用 280

13.12 特征和的波利亚不等式的推广 283

第十三章 习题 285

第十四章 分 拆 288

14.1 引 言 288

14.2 分拆的几何表示 291

14.3 分拆的生成函数 291

14.4 欧拉五边形数定理 294

14.5 欧拉五边形数定理的组合证明 297

14.6 p（n）的欧拉递推公式 298

14.7 p（n）的上界 299

14.8 雅可比三重积等式 301

14.9 雅可比等式的推论 303

14.10 生成函数的对数微分 304

14.11 拉马努然的分拆等式 306

第十四章 习题 307

附录“哥德巴赫猜想”研究综览 311

参考文献目录 318

特殊符号索引 324

编辑手记 326