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第一章 函数 1

第一节 平面直角坐标系与角 1

一、平面直角坐标系 1

二、角 2

习题1-1 3

第二节 函数及相关概念 3

一、区间与邻域 3

二、函数的定义 4

三、函数的表示法 5

习题1-2 6

第三节 函数的特性与运算 6

一、函数的特殊性 6

二、函数的运算 7

习题1-3 9

第四节 幂函数、指数函数、对数函数 9

一、幂函数 10

二、指数函数 11

三、对数函数 11

习题1-4 12

第五节 三角函数和反三角函数 12

一、三角函数 12

二、反三角函数 14

习题1-5 16

第六节 初等函数 16

一、初等函数 16

二、应用举例 16

习题1-6 18

第七节 平面二次曲线 19

一、椭圆 19

二、双曲线 20

三、抛物线 21

习题1-7 22

第一章 复习题 22

第二章 极限与连续 24

第一节 极限的概念 24

一、数列的极限 24

二、函数的极根 25

三、无穷小与无穷大 28

习题2-1 29

第二节 极限的运算 29

一、极限的四则运算法则 29

二、无穷小的比较 31

习题2-2 31

第三节 两个重要极限 32

习题2-3 34

第四节 函数的连续性 34

一、函数连续的概念 35

二、函数的间断点 36

三、初等函数的连续性 36

四、闭区间上连续函数的性质 37

习题2-4 38

第二章 复习题 39

第三章 导数与微分 42

第一节 导数概念 42

一、引例 42

二、导数的定义 43

三、导数的几何意义 45

四、可导与连续的关系 45

习题3-1 46

第二节 求导法则 46

一、导数的四则运算法则 46

二、反函数的求导法则 47

三、高阶导数 48

习题3-2 49

第三节 复合函数和隐函数求导法测 49

一、复合函数求导法测 49

二、隐函数求导法测 50

三、对数求导法 50

习题3-3 51

第四节 微分及其应用 52

一、微分的定义 52

二、微分的几何意义 53

三、微分公式和运算法则 53

四、微分在近似计算中的应用 54

习题3-4 55

第三章 复习题 56

第四章 导数的应用 58

第一节 微分中值定理 58

习题4-1 60

第二节 洛必达法则 60

一、0/0型未定式的计算 60

二、∞/∞型未定式的计算 60

三、其他类型未定式的计算 62

习题4-2 62

第三节 导数在研究函数性态中的应用 63

一、函数的单调性 63

二、函数的极值和最值 64

三、曲线的凹凸性和拐点 67

习题4-3 68

第四节 导数在经济学中的应用 68

一、边际分析 68

二、弹性分析 70

三、最值分析 71

习题4-4 72

第四章 复习题 72

数学家故事 74

罗尔（Rolle，Michel） 74

拉格朗日（Lagrange，Joseph—Louis） 74

洛必达（L’Hospital） 75

第五章 不定积分 77

第一节 不定积分的概念与性质 77

一、原函数与不定积分的概念 77

二、不定积分的性质和几何意义 78

三、不定积分的直接积分法 79

习题5-1 80

第二节 不定积分的换元积分法 81

一、第一类换元积分法 81

二、第二类换元积分法 85

习题5-2 87

第三节 不定积分的分部积分法 88

习题5-3 90

第四节 有理函数的不定积分 90

习题5-4 92

第五章 复习题 92

第六章 定积分及其应用 94

第一节 定积分的概念与性质 94

一、定积分的概念 94

二、定积分的性质 97

习题6-1 98

第二节 微积分基本公式 99

一、变上限的定积分 99

二、牛顿—莱布尼茨公式 99

习题6-2 100

第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 101

一、定积分的换元积分法 101

二、定积分的分部积分法 102

习题6-3 103

第四节 广义积分 103

习题6-4 105

第五节 定积分的应用 105

一、定积分的微元法 105

二、定积分在几何中的应用 106

三、定积分在物理中的应用 111

习题6-5 113

第六章 复习题 114

数学家故事 115

牛顿（Isaac Newton） 115

莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz） 115

第七章 随机事件与概率 118

第一节 随机事件及其运算 118

一、随机试验、样本空间与随机事件 118

二、事件间的关系与运算 119

习题7-1 122

第二节 事件的概率 122

一、概率的统计定义 122

二、古典概型 123

习题7-2 126

第三节 概率的计算 126

一、条件概率 126

二、概率的乘法公式 127

三、全概率公式 128

四、贝叶斯公式 129

五、事件的独立性 131

习题7-3 132

第四节 随机变量及其分布 133

一、随机变量的定义 133

二、离散型随机变量的分布 134

三、随机变量的概率分布函数 134

四、连续型随机变量的分布 135

习题7-4 137

第五节 一维随机变量的数字特征 137

一、随机变量的数学期望 137

二、随机变量的方差 140

三、数学期望和方差的性质 141

习题7-5 141

第六节 常见的概率分布 141

一、常见的离散型分布 141

二、常见的连续型分布 145

习题7-6 150

第七章 复习题 151

数学家故事 153

柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov） 153

泊松（Poisson，Simeon—Denis） 153

贝叶斯（Bayes，Thomas） 153

第八章 数理统计简介 155

第一节 数理统计的基本概念 155

一、总体与样本 155

二、统计量与样本数字特征 156

三、样本分布及直方图 157

四、统计量的分布 159

习题8-1 161

第二节 参数估计 162

一、点估计 162

二、区间估计 163

习题8-2 166

第三节 假设检验 167

一、假设检验的基本概念与基本思想 167

二、单个正态总体参数的假设检验 169

习题8-3 170

第八章 复习题 171

第九章 矩阵 173

第一节 矩阵概念及其代数运算 173

一、矩阵概念 173

二、矩阵的代数运算与转置 175

三、矩阵运算的应用举例 179

习题9-1 180

第二节 n阶矩阵的行列式 181

一、n阶矩阵行列式的概念 181

二、行列式的运算性质 185

习题9-2 187

第三节 矩阵的秩 187

一、矩阵秩的概念 187

二、矩阵的初等变换 189

习题9-3 191

第四节 逆矩阵 191

一、逆矩阵的概念与运算性质 191

二、伴随矩阵及其与逆矩阵的关系 192

三、逆矩阵的求法 192

习题9-4 194

第九章 复习题 194

第十章 线性方程组 196

第一节 克莱姆法则 196

习题10-1 197

第二节 线性方程组的解法 198

一、线性方程组的矩阵表示 198

二、消元法解线性方程组 198

习题10-2 203

第三节 n维向量 204

一、n维向量及其运算 204

二、n维向量的线性相关性 205

习题10-3 207

第十章 复习题 207

数学家故事 208

克莱姆（Cramer， Gabriel） 208

第十一章 微分方程及其应用 209

第一节 微分方程的基本概念 209

一、引例 209

二、微分方程的基本概念 210

习题11-1 210

第二节 一阶微分方程 211

一、可分离变量的一阶微分方程 211

二、一阶线性微分方程 212

习题11-2 214

第三节 可降阶的高阶微分方程 215

一、y（n）=f（x）型的微分方程 215

二、y″=f（x，y′）型的微分方程 215

三、y″=f（y，y′）型的微分方程 216

习题11-3 217

第四节 二阶常系数线性微分方程 217

一、二阶常系数线性微分方程解的性质 217

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 217

三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 219

习题11-4 221

第十一章 复习题 221

数学家故事 222

欧拉 222

第十二章 空间解析几何与向量代数 224

第一节 空间直角坐标系 224

一、空间直角坐标系简介 224

二、空间两点间的距离公式 225

习题12-1 226

第二节 向量及其线性运算 226

一、向量的概念 226

二、向量的加、减法 227

三、数与向量的乘法 228

习题12-2 228

第三节 向量的坐标 229

一、向量的坐标 229

二、向量的线性运算的坐标表示 229

三、向量的模与方向余弦 230

习题12-3 231

第四节 向量的数量积与向量积 231

一、向量的数量积 231

二、向量的向量积 233

习题12-4 234

第五节 平面及其方程 235

一、平面的点法式方程 235

二、平面的一般方程 236

三、两平面的夹角及两平面平行与垂直的条件 238

习题12-5 239

第六节 空间直线及其方程 240

一、直线的点向式方程 240

二、直线的参数方程 241

三、直线的一般方程 241

四、两直线的夹角及两直线平行与垂直的条件 242

习题12-6 243

第七节 常见曲面的方程及图形 244

一、曲面方程的概念 244

二、母线平行于坐标轴的柱面方程 245

三、旋转曲面 246

四、常见的二次曲面及其方程 246

习题12-7 248

第十二章 复习题 248

数学家故事 250

笛卡儿—近代科学的始祖 250

第十三章 多元函数微积分 254

第一节 多元函数的概念、极限与连续性 254

一、多元函数的概念 254

二、二元函数的极限 255

三、二元函数的连续性 256

习题13-1 256

第二节 偏导数 257

一、偏导数的概念及求法 257

二、高阶偏导数 258

习题13-2 259

第三节 全微分 259

一、全微分的概念 259

二、全微分在近似计算中的应用 260

习题13-3 261

第四节 多元复合函数与隐函数微分法 261

一、复合函数微分法 261

二、隐函数的微分法 263

习题13-4 264

第五节 二元函数的极值 265

一、二元函数的极值 265

二、二元函数的最大值与最小值 266

三、条件极值 267

习题13-5 268

第六节 二重积分的概念与性质 269

一、两个实例 269

二、二重积分的定义 270

三、二重积分的性质 270

习题13-6 271

第七节 二重积分的计算方法及其应用 271

一、直角坐标系下二重积分的计算方法 271

二、极坐标系下二重积分的计算方法 274

三、计算立体的体积和曲面的面积 276

四、计算平面薄片的质心 277

五、计算平面薄片的转动惯量 279

习题13-7 279

第十三章 复习题 280

数学家故事 282

阿基米德——爱祖国爱人民的“数学之神” 282

第十四章 无穷级数 284

第一节 常数项级数的概念和性质 284

一、常数项级数的概念 284

二、常数项级数的基本性质和级数收敛的必要条件 286

习题14-1 288

第二节 常数项级数的审敛法 288

一、正项级数及其审敛法 288

二、交错级数及其审敛法 292

三、绝对收敛与条件收敛 292

习题14-2 293

第三节 函数项级数与幂级数 294

一、函数项级数 294

二、幂级数及其收敛性 294

三、幂级数的基本性质 297

习题14-3 298

第四节 函数展开成幂级数 299

一、泰勒级数 299

二、将函数展开成幂级数 300

习题14-4 304

第五节 幂级数展开式的应用 304

一、值的近似计算 305

二、求极限 305

三、求不定积分 306

四、微分方程的幂级数解法 306

习题14-5 306

第十四章 复习题 307

数学家故事 308

达朗贝尔 308

附表 311

附表1 标准正态分布数值表 311

附表2 泊松分布表 312

附表3 x2分布表 313

附表4 t分布表 316

习题参考答案 317

参考文献 345