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第一篇 复变函数论 1

第一章 复数与复变函数 3

1.1复数及其代数运算 3

1.2复变函数的基本概念 6

习题 10

第二章 解析函数 11

2.1解析函数 11

2.2解析函数与调和函数的关系 16

2.3初等解析函数 18

2.4解析函数在平面场中的应用 24

习题 28

第三章 复变函数的积分 30

3.1复变积分的概念及其简单性质 30

3.2哥西积分定理及其推广 33

3.3不定积分 35

3.4哥西积分公式及其推论 37

习题 41

第四章 复变函数级数 43

4.1复变函数级数的基本概念 43

4.2幂级数 45

4.3罗朗级数 50

4.4单值函数的孤立奇点 54

习题 59

第五章 留数定理及其应用 61

5.1留数及留数定理 61

5.2利用留数计算实积分 66

习题 80

第六章 保角变换 82

6.1保角变换的概念 82

6.2分式线性变换 86

6.3唯一确定分式线性变换的条件 91

6.4几个初等函数所构成的变换 98

习题 103

第二篇 数学物理方程 105

第七章 一维波动方程 107

7.1一维波动方程的建立 107

7.2齐次方程的分离变量法 112

7.3非齐次方程的求解 116

7.4分离变量法举例 119

习题 126

第八章 一维热传导方程 128

8.1热传导方程和扩散方程的建立 128

8.2一维有界空间的输运问题 131

8.3一维无界空间的输运问题 133

8.4一端有界的输运问题 139

8.5无界空间的分离变量法举例 141

习题 147

第九章 二维拉普拉斯方程 149

9.1 二维拉普拉斯方程的分离变量法 149

9.2 δ函数 157

习题 160

第十章 二阶线性偏微分方程的分类 本征值问题 162

10.1 二阶线性偏微分方程的分类 162

10.2施图姆-刘维尔本征值问题 168

习题 172

第十一章 波动方程的达朗贝尔解 173

11.1弦振动方程的达朗贝尔解 173

11.2三维空间的行波法 推迟势 180

习题 185

第十二章 格林函数法 187

12.1 格林公式 187

12.2泊松方程的格林函数法 188

12.3波动方程的格林函数法 192

12.4热传导方程的格林函数法 195

12.5格林函数的求法 196

习题 204

第十三章 变分法 206

13.1变分法的基本概念 207

13.2泛函的极值 209

13.3变分法在求解数学物理方程定解问题中的应用 215

习题 220

第十四章 非线性偏微分方程初步 222

14.1 KdV方程与孤立波 222

14.2 Burgers方程与冲击波 227

第三篇 积分变换 229

第十五章 傅里叶变换 231

15.1傅里叶变换的定义及其基本性质 231

15.2用傅里叶变换解数理方程举例 237

习题 240

第十六章 拉普拉斯变换 242

16.1拉普拉斯变换的定义和它的逆变换 242

16.2拉普拉斯变换的基本性质 247

16.3拉普拉斯变换的应用举例 249

习题 257

第四篇 特殊函数 259

第十七章 勒让德多项式球函数 261

17.1勒让德微分方程及勒让德多项式 261

17.2勒让德多项式的主要性质 267

17.3连带勒让德多项式球函数 273

17.4球函数应用举例 279

习题 282

第十八章 贝塞尔函数柱函数 284

18.1贝塞尔微分方程及贝塞尔函数 284

18.2贝塞尔函数的主要性质 293

18.3虚宗量贝塞尔函数 299

18.4贝塞尔函数的应用举例 301

18.5球贝塞尔微分方程及球贝塞尔函数 308

习题 312

习题答案 314

参考文献 325