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第1章 微积分基础知识 1

1.1 映射与函数 1

1.1.1 集合及运算 1

1.1.2 映射与函数 6

1.1.3 函数的初等特性 10

1.1.4 复合函数与反函数 12

1.1.5 基本初等函数和初等函数 14

习题1.1 A 20

习题1.1 B 22

1.2 数列极限 23

1.2.1 数列极限的定义 23

1.2.2 数列极限的性质 27

1.2.3 数列极限的运算 30

1.2.4 数列极限存在准则 33

习题1.2 A 38

习题1.2 B 40

1.3 函数的极限 40

1.3.1 函数极限的概念 40

1.3.2 函数极限的性质和运算法则 46

1.3.3 两个重要极限 51

习题1.3 A 53

习题1.3 B 55

1.4 无穷小与无穷大量 55

1.4.1 无穷小量 55

1.4.2 无穷大量 57

1.4.3 无穷小量和无穷大量的阶 59

习题1.4 A 62

习题1.4 B 64

1.5 连续函数 64

1.5.1 函数的连续性 64

1.5.2 连续函数的性质和运算 67

1.5.3 初等函数的连续性 68

1.5.4 间断点及其类型 70

1.5.5 闭区间连续函数的性质 73

习题1.5 A 76

习题1.5 B 78

第2章 导数和微分 79

2.1 导数的概念 79

2.1.1 引例 79

2.1.2 导数的定义 80

2.1.3 导数的几何意义 83

2.1.4 函数连续性和可导性的关系 84

习题2.1 A 85

习题2.1 B 86

2.2 函数的求导法则 87

2.2.1 导数的四则运算法则 87

2.2.2 复合函数求导法则 88

2.2.3 反函数的求导法则 90

2.2.4 基本求导法则与导数公式 91

习题2.2 A 92

习题2.2 B 93

2.3 高阶导数 94

习题2.3 A 96

习题2.3 B 97

2.4 隐函数和由参数方程所确定函数的求导法则，相对变化率 98

2.4.1 隐函数求导法则 98

2.4.2 由参数方程所确定的函数的求导法则 99

2.4.3 相对变化率 103

习题2.4 A 104

习题2.4 B 106

2.5 函数的微分 106

2.5.1 微分的概念 106

2.5.2 微分的几何意义 108

2.5.3 微分公式与微分运算法则 108

2.5.3 微分在近似计算中的应用 109

习题2.5 110

第3章 微分中值定理与导数的应用 112

3.1 微分中值定理 112

3.1.1 罗尔中值定理 112

3.1.2 拉格朗日中值定理 114

3.1.3 柯西中值定理 116

习题3.1 A 117

习题3.1 B 118

3.2 洛必达法则 118

习题3.2 A 123

习题3.2 B 124

3.3 泰勒公式 125

3.3.1 泰勒公式 125

3.3.2 泰勒公式的应用 128

习题3.3 A 129

习题3.3 B 130

3.4 函数的单调性、极值与最值 130

3.4.1 函数单调性 130

3.4.2 函数的极值 131

3.4.3 函数的最大（小）值及其应用 134

习题3.4 A 136

习题3.4 B 137

3.5 曲线的凹凸性与拐点 137

习题3.5 A 141

习题3.5 B 142

3.6 曲线的渐近线、函数作图 142

习题3.6 146

第4章 不定积分 147

4.1 不定积分的概念和性质 147

4.1.1 不定积分的定义 147

4.1.2 不定积分的基本公式 148

4.1.3 不定积分的运算法则 149

习题4.1 A 151

习题4.1 B 151

4.2 换元积分法 152

4.2.1 第一类换元法 152

4.2.2 第二类换元法 155

习题4.2 A 159

习题4.2 B 161

4.3 分部积分法 161

习题4.3 A 166

习题4.3 B 167

4.4 有理函数的不定积分 168

4.4.1 有理函数的预备知识 168

4.4.2 有理函数的不定积分 170

4.4.3 不能表示为初等函数的不定积分 173

习题4.4 174

第5章 定积分 175

5.1 定积分的概念和性质 175

5.1.1 实例 175

5.1.2 定积分的定义 178

5.1.3 定积分的性质 181

习题5.1 A 185

习题5.1 B 186

5.2 微积分基本定理 186

5.2.1 微积分第一基本定理 187

5.2.2 定积分计算的基本公式 189

习题5.2 A 190

习题5.2 B 192

5.3 定积分的换元法与分部积分法 193

5.3.1 定积分中的换元法 193

5.3.2 定积分的分部积分法 195

习题5.3 A 197

习题5.3 B 198

5.4 反常积分 199

5.4.1 无穷区间上的积分 199

5.4.2 具有无穷间断点的反常积分 202

习题5.4 A 205

习题5.4 B 206

5.5 定积分的应用 206

5.5.1 建立积分表达式的微元法 206

5.5.2 平面图形的面积 208

5.5.3 曲线的弧长 211

5.5.4 立体的体积 214

5.5.5 定积分在物理中的应用 216

习题5.5 A 219

习题5.5 B 220

第6章 微分方程 222

6.1 微分方程的基本概念 222

6.1.1 微分方程举例 222

6.1.2 基本概念 223

习题6.1 225

6.2 一阶微分方程 225

6.2.1 一阶可分离变量方程 225

6.2.2 可化为分离变量的微分方程 226

6.2.3 一阶线性微分方程 230

6.2.4 伯努利微分方程 232

6.2.5 其他可化为一阶线性微分方程的例子 233

习题6.2 235

6.3 可降阶的二阶微分方程 236

习题6.3 238

6.4 高阶线性微分方程 239

6.4.1 高阶线性微分方程举例 239

6.4.2 线性微分方程解的结构 241

习题6.4 243

6.5 常系数线性微分方程 244

6.5.1 常系数齐次线性微分方程 244

6.5.2 常系数非齐次线性方程 248

习题6.5 253

6.6 欧拉微分方程 254

习题6.6 255

6.7 微分方程的应用 255

习题6.7 259

参考文献 261