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第一章 变量与函数 1

第一节 变量、函数的概念 1

一、变量及其表示方法 1

二、函数的定义及其性质 3

第二节 初等函数 8

一、反函数与复合函数 8

二、初等函数的概念 11

三、函数建模的实例 19

第三节 Mathematica软件简介 22

一、Mathematica软件使用简介 22

二、用Mathematica软件绘制简单函数的图像 28

复习思考题一 35

数学文化（一）函数概念发展历史的回顾 37

第二章 极限与连续 39

第一节 极限的概念 39

一、极限的实例 39

二、极限的定义（描述性） 41

三、无穷小量与无穷大量 45

第二节 极限的运算 47

一、极限的四则运算法则 47

二、两个重要极限 49

三、无穷小的比较 52

第三节 函数的连续性 53

一、函数连续的概念 53

二、连续函数的运算与性质 56

三、用Mathematica软件求极限 58

复习思考题二 61

数学文化（二）无限的思想、极限的理论 63

第三章 导数与微分 66

第一节 导数 66

一、导数的实例 66

二、导数的概念 68

第二节 求导法则 73

一、函数和、差、积、商的求导法则 73

二、复合函数的求导法则 75

三、反函数的求导法则 76

四、隐函数的求导法则 78

五、由参数方程确定的函数的求导法则 80

六、高阶导数 81

第三节 微分 83

一、微分的实例 83

二、微分的概念 84

三、微分的运算法则 85

四、微分的应用 87

五、用Mathematica软件计算导数和微分 88

复习思考题三 93

数学文化（三）广大青年学生的良师——数学大师华罗庚 95

第四章 导数的应用 97

第一节 导数在几何上的应用 97

一、微分中值定理 97

二、洛必达法则 99

三、函数的单调性 103

四、函数的极值 104

五、曲线的凹凸性 107

六、函数图像的描绘 108

第二节 导数在经济上的应用 111

一、边际与边际函数 111

二、弹性与弹性分析 113

第三节 导数在最值问题中的应用 115

一、连续函数在闭区间上的最值 115

二、工程技术中的最值问题 116

三、经济中的最值问题 118

复习思考题四 119

数学文化（四）菲尔茨奖、沃尔夫奖与数学大师丘成桐、陈省身 121

第五章 不定积分 123

第一节 不定积分的概念和基本公式 123

一、不定积分的概念 123

二、不定积分的基本公式 125

第二节 不定积分的换元积分法 127

一、第一换元积分法（凑微分法） 127

二、第二换元积分法 131

第三节 不定积分的分部积分法 134

一、分部积分法 134

二、用Mathematica软件计算不定积分 136

复习思考题五 138

数学文化（五）数学与其他科学 140

第六章 定积分 143

第一节 定积分的概念和性质 143

一、定积分的实例 143

二、定积分的定义与性质 146

第二节 定积分基本定理 149

一、变上限的定积分 149

二、定积分的基本公式 151

第三节 定积分的积分方法 152

一、定积分的换元积分法 152

二、定积分的分部积分法 154

第四节 广义积分 156

一、广义积分的概念 156

二、用Mathematica软件计算定积分 159

复习思考题六 163

数学文化（六）牛顿、莱布尼茨与微积分 165

第七章 定积分的应用 167

第一节 定积分应用的微元法 167

第二节 定积分在几何上的应用 169

一、直角坐标系下平面图形的面积 169

二、极坐标系下平面图形的面积 172

三、立体的体积 174

四、平面曲线的弧长 177

第三节 定积分在物理和工程技术上的应用 178

一、变力所做的功 178

二、转动惯量 181

三、液体的压力 183

四、交流电的功率、电流与电压 184

五、用Mathematica软件计算定积分应用题 186

复习思考题七 189

数学文化（七）难题与猜想：推动数学发展的杠杆 191

第八章 常微分方程 193

第一节 常微分方程的基本概念 193

一、常微分方程的实例 193

二、常微分方程的概念 195

第二节 一阶微分方程 197

一、可分离变量的微分方程 197

二、一阶线性微分方程 200

第三节 二阶常系数线性微分方程 203

一、二阶常系数线性齐次微分方程 203

二、二阶常系数线性非齐次微分方程 205

三、微分方程的应用 209

四、用Mathematics软件解常微分方程 219

复习思考题八 226

数学文化（八）常微分方程的产生与发展 227

参考文献 230