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第1章 方程的导出和定解问题 1

1.1 方程的导出 1

1.2　定解条件和定解问题 7

1.3　二阶线性方程的分类与叠加原理 10

习题一 17

第2章　行波法 18

2.1　一维波动方程的初值问题 18

2.1.1　无界弦的自由振动 18

2.1.2 半无界弦的自由振动 20

2.1.3　无界弦的强迫振动 21

2.2 二维与三维波动方程的初值问题 26

2.2.1　球对称情况 26

2.2.2　一般情况 27

2.2.3　降维法及二维波动方程 30

2.3　解的物理意义 31

2.3.1　D'Alembert公式的物理意义 31

2.3.2 依赖区域、决定区域和影响区域 31

习题二 34

第3章　分离变量法和特殊函数 36

3.1　齐次边界条件的定解问题 36

3.1.1 齐次方程齐次边界条件 36

3.1.2　非齐次方程齐次边界条件 44

3.2　非齐次边界条件的定解问题 47

3.2.1　边界条件齐次化 47

3.2.2　周期性条件和自然边界条件 51

3.3 柱域中的分离变量法和Bessel函数 54

3.3.1 Bessel方程的引出 54

3.3.2　Bessel函数及其性质 55

3.4　球域中的分离变量法及Legendre多项式 66

3.4.1 Legendre方程的引出 66

3.4.2 Legendre多项式 67

3.5　本征值理论 75

3.5.1 Sturm-Liouville边值问题 75

3.5.2　本征函数的正交性 78

3.5.3　展开定理 81

3.5.4　奇异的本征值问题 82

习题三 84

第4章　积分变换法 88

4.1　Fourier变换及其性质 88

4.1.1 Fourier变换的形式导出及它的定义 88

4.1.2　Fourier变换的基本性质 90

4.1.3 δ函数及它的Fourier变换 92

4.2　Fourier变换在求解偏微分方程初值问题中的应用 95

4.2.1　一维热传导方程的初值问题 95

4.2.2　一维波动方程的初值问题 96

4.2.3 应用Fourier变换求解边值问题 97

4.3　Laplace变换及其性质 98

4.3.1 Laplace变换的形式推导 98

4.3.2　存在定理 98

4.3.3　Laplace变换的基本性质 99

4.4 Laplace变换在求解偏微分方程定解问题中的应用 101

习题四 103

第5章　Green函数法 106

5.1 Laplace方程第一边值问题的Green函数法 106

5.1.1 Green公式、基本解与基本积分公式 106

5.1.2　Green函数及其意义 108

5.1.3　特殊区域的Green函数 109

习题五 112

习题答案 114

附录 122

附录A　Fourier变换表 122

附录B　Laplace变换表 123

附录C　柱函数、球函数的公式及数表 124

参考文献 128