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第一章　行列式 1

1.1　二阶与三阶行列式 1

1.2　排列 7

1.3　n阶行列式 11

1.4　行列式的性质 16

1.5　行列式按行（列）展开与拉普拉斯（Laplace）定理 28

1.6　克拉默（Cramer）法则 44

阅读材料　应用：两种商品的市场均衡模型 51

探究与发现　“杨辉三角形”中的行列式问题 54

复习题 55

第二章　线性方程组 61

2.1　消元法 61

2.2　n维向量空间Rn 77

2.2.1　n维向量及其线性运算 77

2.2.2　向量的线性相关性 79

2.3　矩阵的秩 93

2.4　线性方程组的解 105

2.4.1　解的判定 105

2.4.2　解的结构 110

阅读材料　《九章算术》方程术 124

阅读与思考　应用：单臂直流电桥的原理 125

复习题 127

第三章　矩阵 133

3.1　矩阵的运算 133

3.2　矩阵的逆 153

3.3　初等矩阵 160

3.4　矩阵的等价 171

3.5　矩阵的分块 174

阅读材料　应用：马尔可夫型决策 186

阅读与思考　矩阵的三角分解（LU分解） 191

探究与发现　帕斯卡（Pascal）矩阵 195

复习题 198

第四章　矩阵的对角化 203

4.1　相似矩阵 203

4.2　特征值与特征向量 205

4.3　矩阵可对角化的条件 212

4.4　实对称矩阵 220

4.4.1　向量内积与正交矩阵 221

4.4.2　实对称矩阵的对角化 231

4.5　若尔当标准形介绍 235

4.5.1　复数特征值 236

4.5.2　若尔当标准形 238

阅读材料　应用：线性差分方程组模型 240

探究与发现　特征值与特征向量的直接求法 246

复习题 252

第五章　二次型 257

5.1　数域 257

5.2　二次型及其矩阵表示 260

5.3　二次型的标准形 265

5.3.1　配方法 266

5.3.2　初等变换法 270

5.3.3　复数域和实数域上的二次型 274

5.3.4　正交替换法 279

5.4　正定二次型 282

阅读材料　应用：最优化问题 289

探究与发现　化n元二次型为标准形的一些问题 298

复习题 302

第六章　线性空间 307

6.1　线性空间的定义 307

6.2　基、维数和坐标 313

6.3　线性子空间 326

6.4　映射　线性空间的同构 344

6.5　线性空间上的函数 353

6.6　对偶空间 359

阅读材料　等价关系 361

探究与发　现关于2阶矩阵的特征向量的一个简单性质 364

复习题 366

第七章　线性变换 370

7.1　线性变换的定义 370

7.2　线性变换的矩阵 374

7.3　线性变换的运算 381

7.4　线性变换的值域与核 387

7.5　线性变换的特征值与特征向量 394

7.5.1　特征值与特征向量 394

7.5.2　哈密顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理　最小多项式 399

7.5.3　线性变换的可对角化条件 405

7.6　线性变换的不变子空间 408

阅读材料　应用：动画制作中的图形变换 413

探究与发现　低秩矩阵的特征多项式和最小多项式 417

复习题 423

第八章　多项式 427

8.1　一元多项式 427

8.2　整除的概念 430

8.2.1　带余除法 430

8.2.2　整除的概念与性质 432

8.3　最大公因式 435

8.4　多项式的因式分解 443

8.4.1　不可约多项式 443

8.4.2　因式分解定理 445

8.5　重因式 449

8.6　多项式的根 453

8.6.1　多项式函数 453

8.6.2　多项式的根 454

8.7　复系数与实系数多项式的因式分解 456

8.8　有理数域上多项式 461

8.9　多元多项式 468

8.9.1　多元多项式及其运算 468

8.9.2　对称多项式 474

阅读与思考　三等分角问题 479

复习题 486

第九章　λ-矩阵 490

9.1　λ-矩阵及其标准形 490

9.2　不变因子 496

9.3　矩阵相似的条件 500

9.4　初等因子 503

9.5　若尔当标准形 507

阅读与思考　根子空间分解 512

探究与发现　在数域C,R上的幂么矩阵的分类 516

复习题 520

第十章　欧几里得空间 523

10.1　欧几里得空间定义及基本性质 523

10.2　欧氏子空间　正交补 533

10.3　正交变换 537

10.4　对称变换 542

10.5　酉空间 543

阅读材料　应用：最小二乘法 548

复习题 554

附录　MATLAB使用简介 557

习题答案与提示 563

索引 596

参考文献 601