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第一章　矩阵 1

1　数域 1

2　矩阵的概念 2

一、引例 2

二、矩阵的定义 3

三、特殊矩阵 4

习题一 5

3　矩阵的运算 6

一、矩阵的线性运算 6

二、矩阵的乘法 8

三、矩阵的转置 13

四、矩阵的逆 15

习题二 17

4　分块矩阵及其运算 19

一、分块矩阵的概念 19

二、分块矩阵的运算 21

习题三 25

第二章　线性方程组与矩阵初等变换 26

1　线性方程组及高斯消元法 26

一、引例 26

二、线性方程组 27

三、高斯消元法 28

四、利用矩阵初等行变换解线性方程组 30

五、矩阵的初等列变换 41

习题一 41

2　初等矩阵 42

一、初等矩阵的概念 42

二、初等矩阵与矩阵初等变换 44

三、分块乘法的初等变换及应用举例 45

四、逆矩阵定理 47

五、利用矩阵初等变换求矩阵的逆 47

习题二 50

第三章　行列式 51

1　n阶行列式的定义 51

一、二阶和三阶行列式 51

二、全排列及其奇偶性 53

三、n阶行列式的定义 54

四、行列式按行（列）展开 57

习题一 60

2　行列式的性质与计算 61

一、行列式的性质 61

二、行列式的计算 63

习题二 69

3　行列式与矩阵的逆 71

一、伴随矩阵与矩阵的逆 71

二、行列式的乘法定理 73

三、克拉默法则 75

习题三 77

4　矩阵的秩 78

一、矩阵的秩的概念 78

二、矩阵的秩的计算 79

习题四 82

5　应用实例 82

第四章　向量组的线性相关性 85

1 向量与向量空间 85

一、三维向量空间 85

二、n维向量 86

三、向量空间及其子空间 87

习题一 88

2　向量组的线性相关性 89

一、向量组的线性组合 90

二、向量组的线性相关性 93

习题二 98

3　向量组的秩 99

一、向量组的秩与极大无关组 99

二、向量组的极大无关组的性质 101

三、向量空间的基、维数与向量的坐标 103

习题三 106

4　线性方程组解的结构 107

一、齐次线性方程组解的结构 107

二、非齐次线性方程组解的结构 112

习题四 114

第五章　多项式 117

1　一元多项式 117

一、一元多项式及其运算 117

二、一元多项式的次数 119

习题一 120

2　整除的概念 120

一、整除的定义 120

二、最大公因式 123

习题二 128

3　因式分解定理 129

一、因式分解定理 129

二、重因式 132

三、多项式函数与余数定理 134

习题三 137

4　多项式的因式分解 138

一、复数域上与实数域上多项式的因式分解 138

二、有理数域上多项式的因式分解 140

习题四 144

5　多元多项式 145

一、多元多项式 145

二、对称多项式 146

习题五 148

第六章　线性空间 149

1　线性空间 149

一、线性空间的定义 149

二、线性空间的简单性质 151

习题一 152

2　维数、基与坐标 153

一、维数、基与坐标的定义 154

二、基变换与坐标变换 157

习题二 160

3　线性子空间 162

一、线性子空间的定义 162

二、线性子空间的交与和 165

三、线性子空间的直和 169

习题三 171

4　集合的映射 173

习题四 175

5　线性空间的同构 175

习题五 178

第七章　线性变换 179

1　线性变换 179

一、线性变换的定义 179

二、线性变换的运算 182

三、线性变换的矩阵 185

习题一 192

2　特征值与特征向量 194

一、特征值与特征向量的定义 194

二、特征值与特征向量的计算 195

三、特征多项式的性质 202

习题二 204

3　不变子空间 205

一、线性变换的值域与核 205

二、不变子空间 209

习题三 214

4　相似矩阵 215

一、相似矩阵的性质 215

二、矩阵的相似对角化 216

三、若尔当标准形介绍 222

习题四 225

5　最小多项式 226

习题五 231

第八章　λ-矩阵 232

1　λ-矩阵 232

一、λ-矩阵 232

二、λ-矩阵的初等变换与行列式因子 233

习题一 236

2　λ-矩阵在初等变换下的标准形 236

一、λ-矩阵的标准形 236

二、λ-矩阵的不变因子 239

习题二 240

3　矩阵相似的条件 241

一、矩阵相似的条件 241

二、初等因子 244

习题三 247

4　若尔当标准形的计算 248

习题四 252

第九章　向量的正交性 253

1 向量空间的内积 253

一、引例（三维几何空间中向量的内积） 253

二、向量的内积及其性质 254

三、向量的正交性 257

四、施密特正交化过程 259

五、正交矩阵 262

六、正交变换 263

习题一 265

2　实对称矩阵的对角化 266

一、子空间的正交关系 266

二、对称变换 268

三、实对称矩阵的特征值与特征向量 269

四、实对称矩阵的对角化 270

习题二 273

第十章　二次型 275

1 二次型 275

一、二次型的概念 275

二、二次型的矩阵表示 276

习题一 277

2　二次型的标准形 278

一、二次型的标准形 278

二、用正交变换化二次型为标准形 280

三、用拉格朗日配方法化二次型为标准形 282

四、用合同线性变换法化二次型为标准形 284

五、二次曲面的化简 287

习题二 287

3　正定二次型 288

一、正定二次型的概念 288

二、正定二次型的判定 290

习题三 297

习题答案 299

参考文献 315