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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、区间和邻域 1

二、函数的概念 1

三、函数的几种特性 4

四、反函数 6

五、基本初等函数 7

六、复合函数及初等函数 9

习题1-1 11

第二节 极限的概念及性质 12

一、数列的极限 13

二、函数的极限 17

习题1-2 22

第三节 无穷小与无穷大 22

一、无穷小 22

二、无穷大 24

三、无穷小和无穷大的关系 25

习题1-3 26

第四节 极限的运算法则 26

一、极限的运算法则 26

二、极限求法举例 27

习题1-4 30

第五节 极限存在准则 两个重要极限 31

一、极限存在准则 31

二、两个重要极限 32

习题1-5 35

第六节 无穷小的比较 35

习题1-6 37

第七节 函数的连续与间断 38

一、函数的连续性 38

二、函数的间断点 40

习题1-7 42

第八节 初等函数的连续性 43

一、连续函数的运算法则及复合函数的连续性 43

二、闭区间上连续函数的性质 44

习题1-8 46

第二章 导数与微分 48

第一节 导数的概念 48

一、引例 48

二、导数的概念 49

三、求导举例 51

四、左导数和右导数 53

五、导数的几何意义 54

六、函数的可导性与连续性的关系 55

习题2-1 56

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 57

一、函数和、差的求导法则 57

二、函数积的求导法则 58

三、函数商的求导法则 59

习题2-2 60

第三节 反函数与复合函数的求导法则 61

一、反函数的求导法则 61

二、复合函数的求导法则 63

三、导数基本公式及求导法则 66

习题2-3 67

第四节 高阶导数 68

习题2-4 70

第五节 隐函数的导数 71

一、隐函数的导数 71

二、对数求导法 73

习题2-5 74

第六节 由参数方程所确定的函数的导数 75

习题2-6 77

第七节 函数的微分及应用 78

一、微分的定义 78

二、微分的几何意义 80

三、微分公式与微分运算法则 80

四、微分在近似计算中的应用 82

习题2-7 83

第三章 中值定理与导数的应用 85

第一节 微分中值定理 85

一、罗尔定理 85

二、拉格朗日中值定理 87

三、柯西中值定理 90

习题3-1 91

第二节 洛必达法则 92

习题3-2 96

第三节 泰勒公式 97

一、泰勒公式 97

二、麦克劳林公式 99

习题3-3 100

第四节 函数单调性的判定 101

习题3-4 103

第五节 函数的极值及其求法 104

一、极值的定义 104

二、极值存在的条件和求极值的方法 104

习题3-5 108

第六节 函数的最大值与最小值 109

习题3-6 111

第七节 曲线的凹凸性 111

习题3-7 114

第八节 函数作图 115

习题3-8 117

第四章 不定积分 118

第一节 不定积分的基本概念与性质 118

一、原函数与不定积分的概念 118

二、不定积分的基本性质 120

三、不定积分的基本公式 120

四、简单不定积分的计算 121

习题4-1 123

第二节 换元积分法 124

一、第一类换元积分法 124

二、第二类换元积分法 129

习题4-2 133

第三节 分部积分法 134

习题4-3 138

第四节 几种特殊函数的不定积分 138

一、有理函数积分 138

二、三角函数有理式的积分 140

三、简单无理函数的积分 142

习题4-4 143

第五节 不定积分在经济学中的应用 143

习题4-5 145

第五章 定积分及其应用 146

第一节 定积分的概念与性质 146

一、定积分问题举例 146

二、定积分的定义 148

三、定积分的几何意义 150

四、定积分的性质 151

习题5-1 153

第二节 微积分基本定理 154

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系 154

二、可变上限的定积分 155

三、牛顿—莱布尼茨公式 157

习题5-2 159

第三节 定积分的计算 160

一、定积分的换元积分法 160

二、定积分的分部积分法 163

习题5-3 164

第四节 定积分的近似计算 165

一、矩形法 166

二、梯形法 166

习题5-4 168

第五节 定积分的应用 168

一、定积分的微元法 168

二、平面图形的面积 169

三、体积 173

四、平面曲线的弧长 175

五、变力做功 177

六、在经济学中的应用 178

习题5-5 179

第六节 广义积分 180

一、无穷区间上的广义积分 180

二、无界函数的广义积分 183

习题5-6 185

第六章 多元函数微分学 186

第一节 空间解析几何的基本知识 186

一、空间直角坐标系 186

二、几种特殊的曲面 189

三、空间曲线 193

习题6-1 195

第二节 二元函数的概念 196

一、预备知识 196

二、多元函数的概念 197

三、二元函数的极限与连续 199

习题6-2 202

第三节 偏导数 203

一、偏导数的定义及其计算方法 203

二、高阶偏导数 207

习题6-3 208

第四节 全微分及其应用 208

一、全微分的定义 208

二、全微分在近似计算中的应用 211

习题6-4 212

第五节 多元复合函数的求导法则 212

一、复合函数为一元函数的情形 212

二、复合函数为二元函数的情形 213

三、一种特殊的情形 214

习题6-5 215

第六节 隐函数的求导公式 216

习题6-6 218

第七节 多元函数的极值 219

一、二元函数的极值 219

二、最大值与最小值 221

三、条件极值 拉格朗日乘数法 222

习题6-7 223

第七章 二重积分 224

第一节 二重积分的概念与性质 224

一、二重积分的概念 224

二、二重积分的性质 226

习题7-1 228

第二节 二重积分的计算法 228

一、利用直角坐标计算二重积分 229

二、利用极坐标计算二重积分 235

习题7-2 238

第三节 二重积分的应用 240

一、曲面的面积 240

二、空间几何体的体积 241

三、平面薄片的质量 242

习题7-3 243

第八章 微分方程 244

第一节 微分方程的基本概念 244

习题8-1 247

第二节 可分离变量的微分方程 248

习题8-2 250

第三节 齐次方程 251

习题8-3 253

第四节 一阶线性微分方程 253

一、一阶线性微分方程 253

二、伯努利方程 256

习题8-4 258

第五节 可降阶的高阶微分方程 258

一、y″=f（x）型的微分方程 259

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 260

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 261

习题8-5 262

第六节 二阶线性微分方程 263

一、二阶常系数齐次线性微分方程 263

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 267

习题8-6 270

第九章 差分方程 271

第一节 差分方程的基本概念 271

一、差分概念 271

二、差分方程 273

三、差分方程的解 274

习题9-1 275

第二节 一阶常系数线性差分方程 275

一、一阶常系数齐次线性差分方程 276

二、一阶常系数非齐次线性差分方程 277

习题9-2 280

第三节 二阶常系数线性差分方程 280

一、二阶常系数齐次线性差分方程 280

二、二阶常系数非齐次线性差分方程 282

习题9-3 283

第四节 差分方程的简单应用 283

一、筹措教育经费 283

二、分期偿还贷款 284

习题9-4 286

第十章 无穷级数 287

第一节 无穷级数的概念和性质 287

一、无穷级数的概念 287

二、无穷级数的基本性质和级数收敛的必要条件 292

习题10-1 293

第二节 常数项级数的审敛法 294

一、正项级数及其审敛法 294

二、交错级数及其审敛法 299

三、绝对收敛与条件收敛 300

习题10-2 301

第三节 幂级数 302

一、函数项级数 302

二、幂级数及其收敛性 303

三、幂级数的基本性质 307

习题10-3 308

第四节 函数的幂级数展开 309

一、泰勒级数 309

二、函数展开成幂级数 310

习题10-4 315

第五节 幂级数展开式的应用 316

一、近似计算 316

二、欧拉公式 318

习题10-5 319

习题参考答案 320

参考文献 345