随机微积分方程及其应用概要PDF电子书下载

第1章　概率论备要与随机数 1

1.1　概率论备要 1

1.1.1　概率公理系统 1

1.1.2　随机变量 2

1.1.3　随机向量 2

1.1.4　基本极限定理 3

1.1.5　常见的实函数，Borel集与Borel函数 5

1.1.6　常见的概率分布 6

1.2　随机数与随机模拟 6

1.2.1　生成随机数的逆函数方法 7

1.2.2　生成随机数的Von Neumann取舍原则 11

1.2.3 对于取舍原则的再认识 12

1.2.4　取舍原则的另一种表述 12

1.3 Gauss系 13

1.3.1　方差有限的随机变量全体组成的Hilbert空间 13

1.3.2 作为d维正态分布的推广的d维Gauss分布 14

1.3.3　Gauss系与Gauss过程 15

习题1 17

第2章　条件分布与条件期望 21

2.1　条件分布与全概率公式的推广 21

2.1.1　条件分布 21

2.1.2　全概率公式及其积分形式 21

2.1.3　Bayes公式及其积分形式 22

2.1.4　多维条件分布 22

2.2　条件期望 22

2.2.1　随机变量在另一个随机变量取定值时的数学期望 22

2.2.2　随机变量对另一个随机变量的条件期望 23

2.2.3　关于多维随机变量的条件期望 26

2.2.4　方差有限的随机变量对一个随机变量列的条件期望 28

2.2.5　期望有限的随机变量对随机变量族的条件期望 28

2.2.6　关于事件体（σ代数）？的条件期望 28

习题2 30

第3章　随机徘徊与鞅论浅述 32

3.1　随机徘徊 32

3.1.1　简单随机徘徊 32

3.1.2　博弈输光模型 33

3.2　鞅列浅述 34

3.2.1　鞅列与常见的例子 34

3.2.2　鞅列的停时与选样定理 37

3.2.3　鞅列的选样定理的应用 40

3.2.4　一般Doob停止定理的叙述 43

3.2.5　下鞅列的Doob分解 43

3.3　连续时间参数的鞅 44

3.3.1 连续时间参数的随机事件的历史参照与连续时间参数的鞅 44

3.3.2　连续时间鞅的选样定理 45

3.3.3　平方可积鞅 46

习题3 48

第4章　Brown运动与Markov过程 50

4.1　Brown运动的数学模型 50

4.2　Markov过程与Brown运动的Markov性 53

4.3　Brown运动的有限维联合密度与基本性质 55

4.4　Brown运动的首达时的分布密度 57

4.4.1　首达时与Brown运动的反射原理 57

4.4.2　Brown运动在时间区间［0,t］中达到的最大值的分布 59

4.5　Brown运动的离散近似 61

4.5.1　用对称随机徘徊近似 61

4.5.2　Brown运动在击中b（b＜0）前，先击中a（a＞0）的概率 61

4.6　Brown运动的变种 62

4.6.1 漂移Brown运动 62

4.6.2　几何Brown运动 63

4.6.3　0点反射Brown运动 65

4.6.4　积分Brown运动 65

习题4 66

第5章 随机微积分，对Brown运动的Ito积分与Ito公式 68

5.1　实值函数的Stieltjes积分 68

5.1.1　对单调函数的Stieltjes积分 68

5.1.2　对有界变差函数的Stieltjes积分 69

5.2　对Brown运动的随机积分 71

5.2.1　实值函数对Brown运动的积分 72

5.2.2 随机函数（随机过程）对Brown运动的积分 78

5.3　Ito公式——随机积分的换元公式与复合函数的随机微分公式 88

5.3.1　特殊类型的Ito过程 88

5.3.2　Ito积分中被积随机过程类的推广与一般的Ito过程 90

5.3.3　多维Brown运动积分的Ito过程 91

5.3.4　用鞅的语言来表达Ito公式——Stroock-Varadhan表示 97

习题5 98

第6章　随机微分方程 100

6.1　随机微分方程 100

6.1.1　非随机系数的随机微分方程 100

6.1.2　随机系数的随机微分方程的例子 104

6.1.3　随机微分方程的解的存在唯一性 107

6.2 通过两个常微分方程的解给出光滑系数的一维随机微分方程的解 115

6.2.1　Ito公式的简单推广 115

6.2.2　通过两个常微分方程的解求解Stratonovich随机微分方程 115

6.3　化简一维随机微分方程的变换方法 119

6.3.1　可以用变换转化的决定性函数系数的随机微分方程的例子 119

6.3.2　可以用变换转化的决定性函数系数的随机微分方程的条件 121

6.3.3 求解Ito方程的另一种途径——将方程中Brown运动的系数化为1 124

6.4　随机微分方程解的矩与对参数的依赖 125

6.5 Kalman-Bucy滤波 126

6.5.1　Gauss过程的投影——线性滤波 126

6.5.2 Kalman-Bucy滤波模型与滤波过程（用新息过程表示，滤波的均方误差），滤波的随机微分方程 127

6.5.3　关于离散时间的Kalman-Bucy滤波的附注 134

6.6　随机微分方程的弱解的概念 137

习题6 138

第7章　扩散过程与其性质 140

7.1　随机微分方程解的Markov性质 140

7.2　扩散方程与Fokker-Plank方程 145

7.2.1　转移密度的Kolmogorov向前方程与向后方程 145

7.2.2 转移密度的Kolmogorov向前方程与向后方程的直观推导 146

7.2.3 系数含时间t时的Kolmogorov向前方程与向后方程（非时齐形式） 149

7.3　多维扩散过程 151

7.3.1　多维扩散方程 151

7.3.2　非退化时齐扩散过程的两歧性和不变密度 152

7.4　扩散过程的遍历定理 154

7.5　多维扩散过程的首达时与首达地点的分布 155

7.5.1　多维扩散过程的首达时与吸收过程 155

7.5.2 多维扩散过程的首达地点分布与Dirichlet边值问题 158

7.6 Girsanov定理与Feyman-Kac公式 158

7.6.1　Brown的随机平移——Girsanov变换 159

7.6.2　Feyman-Kac公式 159

7.7　扩散过程的最佳停止 161

习题7 163

第8章 随机微分方程的解的数值模拟算法 165

8.1　随机微分方程轨道的采样近似 165

8.2 随机微分方程在固定时刻附近的随机Taylor展开与解的差分近似 166

8.2.1　半阶差分近似模型（Euler-Maruyama近似） 167

8.2.2　一阶差分近似模型（Milstein近似） 168

8.3 Ito方法的解ξt的光滑函数f（ξt）在时刻t附近的随机Taylor展开 168

8.4　差分近似模型的另一种改进途径——一阶随机Runge-Kutta模型 169

第9章　随机微分方程在金融模型中的应用 170

9.1　金融术语与基本假定 170

9.2　Black-Scholes模型及其欧式未定权益的定价 172

9.2.1　Black-Scholes模型 172

9.2.2　Black-Scholes模型的欧式未定权益的定价的套期方法，Black-Scholes微分方程的推导与求解 172

9.2.3　风险中性概率方法 175

9.2.4　币值单位与随机折现因子方法 177

9.2.5　时变的Black-Scholes模型 179

9.3　二叉模型与Black-Scholes模型的二叉近似 179

9.3.1　二叉模型（中性概率存在的条件，欧式权益的定价） 179

9.3.2　Black-Scholes模型的二叉模型近似 182

9.3.3 二叉模型的美式未定权益概要（美式权益｛f(Sn),n≤N｝的定价，套期与消费过程） 183

9.4　随机利率与债券利率的期限结构 188

9.4.1　s-零息债券 188

9.4.2　零息债券导出的各种随机利率概念 189

9.4.3　资产定价基本定理与利率衍生证券 190

9.4.4　利率的风险中性模型（远期利率的HJM模型，短期利率模型） 191

9.5 基于证券的随机利率的债券为币值单位折现的证券的未定权益的定价 195

习题9 196

第10章　Poisson随机分析大意 197

10.1　Poisson过程，非时齐的Poisson过程与复合Poisson过程的复习 197

10.1.1　Poisson过程 197

10.1.2　非时齐的Poisson过程 198

10.1.3 复合Poisson过程与非时齐的复合Poisson过程 200

10.2 对非时齐的Poisson过程的随机积分与对Poisson点过程的随机积分 200

10.2.1　对非时齐的Poisson过程Nt的随机积分 200

10.2.2 与非时齐的复合Poisson过程相系的Poisson点过程（用时间、空间积分表示） 202

10.2.3　将非时齐复合Poisson过程表为时空Poisson点过程的积分（用时间、空间积分表示） 204

10.3　对时空Poisson点过程μ（t,v）的随机积分 205

10.3.1 对时空Poisson点过程μ（t,v）的随机积分的必要性 205

10.3.2 对时空Poisson点过程μ（t,v）的随机积分的含义 206

10.4 以Poisson过程或时空Poisson点过程驱动的随机微分方程与Poisson随机微积分的复合函数的Ito公式 207

10.4.1 以时空Poisson过程驱动的随机微分方程 207

10.4.2　一般的随机微分方程的解的Ito公式 208

10.5　常见的条件Poisson过程 209

10.5.1 自激点过程（条件强度过程，绝对概率，事件到达时间联合分布，样本分布） 209

10.5.2　带有随机调制的Poisson过程（二重Poisson过程） 212

10.5.3　滤波Poisson过程 213

10.6　特征泛函 214

10.6.1　Poisson过程的特征泛函 214

10.6.2　非时齐的Poisson过程的特征泛函 215

10.6.3 非时齐的复合Poisson过程的特征泛函 215

10.7 随机地模拟Poisson过程和非时齐的Poisson过程的方法 217

10.7.1　模拟Poisson过程的方法 217

10.7.2　模拟非时齐的Poisson过程 217

习题10 218

名词索引 220

参考文献 224