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第五章 多元函数微分学及其应用 1

第一节　预备知识 1

1.1　n元（实）函数 1

1.2　n元m维向量值函数 4

1.3　复变函数 4

习题5.1 6

第二节 极限与连续 7

2.1 多元函数的极限与连续 7

2.2　复变函数的极限与连续 9

习题5.2 10

第三节 偏导数与全微分 11

3.1　偏导数的概念与几何意义 11

3.2　高阶偏导数 14

3.3　全微分 16

习题5.3 22

第四节 微分运算法则 23

4.1 复合函数微分法 23

4.2　隐函数微分法 29

习题5.4 34

第五节 方向导数与梯度 36

5.1　方向导数 36

5.2　梯度 38

习题5.5 40

第六节 多元函数微分学的几何应用 41

6.1　空间曲线的切线与法平面 41

6.2　空间曲面的切平面与法线 44

习题5.6 46

第七节 多元函数的Taylor公式与极值 48

7.1 多元函数的Taylor公式 48

7.2　多元函数的极值 50

习题5.7 58

第八节 n元m维向量值函数的微分法 59

8.1　偏导数与全微分 59

8.2　微分运算法则 61

习题5.8 62

第九节 复变函数的导数与解析函数 63

9.1 复变函数导数的概念与性质 63

9.2　解析函数 67

9.3　初等函数及其简单性质 69

习题5.9 72

第五章总习题 73

第六章 多元数量函数的积分学及其应用 77

第一节 多元数量函数积分的概念与性质 77

1.1　积分的概念 77

1.2　积分的性质 79

第二节 二重积分的计算 80

2.1 直角坐标系下二重积分的计算 80

2.2　二重积分换元法 85

2.3　极坐标系下二重积分的计算 89

习题6.2 93

第三节 三重积分的计算 97

3.1 直角坐标系下三重积分的计算 97

3.2　柱面坐标系下三重积分的计算 101

3.3　球面坐标系下三重积分的计算 103

习题6.3 106

第四节 第一型曲线积分的计算 108

习题6.4 110

第五节 第一型曲面积分的计算 111

5.1 曲面面积 111

5.2　第一型曲面积分的计算 113

习题6.5 115

第六节 数量函数积分的应用 116

习题6.6 119

第六章总习题 120

第七章 向量函数的积分 124

第一节 第二型曲线积分 124

1.1 第二型曲线积分的概念与性质 124

1.2　第二型曲线积分的计算 127

习题7.1 132

第二节 第二型曲面积分 133

2.1 有向曲面的概念 133

2.2　第二型曲面积分的概念与性质 133

2.3　第二型曲面积分的计算 137

习题7.2 141

第三节 各种积分的关系及其在场论中的应用 142

3.1　场的概念 142

3.2　两类曲线（面）积分之间的关系 144

3.3　Green公式 146

3.4　Gauss公式与散度 159

3.5　Stokes公式与旋度 165

3.6　几种特殊的向量场 169

习题7.3 174

第七章总习题 178

第八章　复变函数的积分 181

第一节 复变函数积分的概念与性质 181

习题8.1 185

第二节 Cauchy积分定理 186

习题8.2 190

第三节 Cauchy积分公式与高阶导数公式 191

习题8.3 194

第九章　常数项级数 196

第一节 常数项级数的概念与性质 196

1.1　常数项级数的概念 196

1.2　常数项级数的性质 199

习题9.1 201

第二节 常数项级数的判敛法 202

2.1　正项级数的判敛法 202

2.2　交错级数的判敛法 209

2.3　常数项级数的绝对收敛与条件收敛 210

习题9.2 212

第三节 反常积分判敛法 214

3.1　无穷区间上反常积分的判敛法 214

3.2　无界函数反常积分的判敛法 215

3.3　Γ函数 216

习题9.3 218

第九章总习题 219

第十章　函数项级数 221

第一节 函数项级数简介 221

1.1 函数项级数的基本概念 221

1.2　函数项级数的一致收敛性 223

习题10.1 228

第二节　幂级数 228

2.1　幂级数及其收敛性 228

2.2　幂级数的运算及其性质 233

2.3　函数展开为幂级数 235

习题10.2 244

第三节 Laurent级数 245

3.1　双边无穷级数 245

3.2　函数展开为Laurent级数 246

习题10.3 249

第四节 解析函数的孤立奇点及留数 249

4.1　孤立奇点及其分类 249

4.2　留数 253

4.3　用留数计算某些实积分 258

习题10.4 261

第五节　Fourier级数 263

5.1　Fourier级数的概念 263

5.2　函数展开为Fourier级数 265

5.3　Fourier级数在频谱分析中的应用 272

习题10.5 275

第十章总习题 276

数学实验 278

部分习题参考答案与提示 297