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第一章 矩阵分析基础 1

1.1 向量与矩阵的范数 1

1.2 矩阵的分解 9

一、三角分解 10

二、矩阵的最大秩分解 14

三、单纯矩阵的谱分解 16

1.3 矩阵特征值的估计 22

1.4 矩阵分析 36

习题1 49

第二章 科学计算方法 52

2.1 绪论 52

一、误差的来源和分类 52

二、绝对误差与相对误差 53

三、有效数字 54

四、函数计算的误差估计 56

五、算术运算的误差估计 57

六、数值计算中的一些基本原则 58

2.2 非线性方程数值方法 63

一、二分法 64

二、牛顿（Newton）迭代法 68

三、弦截法 73

四、计算重根的牛顿迭代法 75

2.3 线性方程组的直接解法 76

一、高斯消元法 77

二、高斯消元过程 78

三、直接三角分解法 83

四、方程组直接解法的误差估计 85

2.4 线性方程组的迭代解法 88

一、雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代 88

二、超松弛迭代法 96

三、共轭梯度算法 98

2.5 常微分方程的数值解法 102

一、简单的数值方法 102

二、龙格-库塔方法 107

习题2 109

第三章 最优化理论与方法 112

3.1 线性规划问题的数学模型 112

3.2 二维线性规划的图解法 122

3.3 二维线性规划的基本概念及解的性质 125

3.4 单纯形法 130

一、对应于B的单纯形表 130

二、换基迭代 136

三、由一可行基开始，求解线性规划的步骤 138

3.5 第一个可行基的求法 144

3.6 单纯形法的改进 156

3.7 一维搜索法 162

一、下降迭代算法及终止准则 163

二、黄金分割法（0.618法） 164

三、二点三次插值法 165

3.8 无约束最优化方法 166

一、最速下降法 166

二、牛顿法 167

3.9 变尺度法 169

3.10 对称秩1的公式（SR1法） 171

一、修正公式的推导 171

二、算法［对称矩阵1法（SR1法）］及例 172

三、对称秩1算法的基本性质 175

习题3 177

第四章 组合数学 182

4.1 排列与组合 182

一、两个基本法则 182

二、排列与组合 183

三、一些组合恒等式 187

4.2 鸽笼原理与容斥原理 189

一、鸽笼原理 189

二、容斥原理 191

三、容斥原理的一般形式 194

4.3 有限制的排列 196

一、错排问题 196

二、有禁位的排列 198

三、相对位有禁位的排列 203

4.4 母函数 205

一、普通母函数 205

二、母函数的一个性质 209

三、指数型母函数 210

4.5 递推关系 212

一、递推关系的定义与建立 212

二、递推关系的求解 213

4.6 常系数线性递推关系 216

一、常系数线性齐次递推关系 216

二、非齐次的解法 220

4.7 Stirling数与Catalan数 223

一、Stirling数 223

二、Catalan数 224

习题4 226

第五章 图论 230

5.1 图的概念 230

一、图的定义 230

二、图的同构 232

三、图的矩阵表示 233

四、子图 234

五、顶点的度 235

5.2 路、连通性与最短路 237

一、通路、回路与距离 237

二、无向图的连通性 238

三、有向图的连通性 239

四、最短路问题 240

5.3 树及其应用 243

一、无向树 243

二、有向树 246

5.4 连通度 248

5.5 Euler图与Hamilton图 251

一、Euler图 251

二、Hamilton图 253

三、中国邮路问题简介 257

5.6 偶图、匹配及其应用 258

一、偶图 258

二、匹配 259

三、偶图的匹配 260

5.7 图的着色 263

一、边着色 263

二、顶点着色 266

5.8 平面图 267

一、平面图的基本概念 268

二、平面图的几个关系式 270

三、平面图的判定 272

5.9 网络流 274

一、运输网络与最大流 274

二、最大流问题的推广 279

习题5 281

第六章 随机过程 287

6.1 随机过程的基本概念 287

一、随机过程的直观背景和定义 287

二、随机过程的分布 290

三、随机过程的数字特征 294

四、复随机过程 295

6.2 几种重要的随机过程 296

一、独立过程 296

二、独立增量过程（可加过程） 297

三、正态随机过程（高斯过程） 298

四、维纳过程 299

五、计数过程 300

6.3 Markov过程 302

一、马尔科夫过程的基本概念 303

二、齐次马尔科夫链 304

三、齐次马尔科夫链的遍历性和平稳分布 307

6.4 平稳过程 309

一、平稳过程的定义 309

二、（自）相关函数的性质 311

三、互相关函数的性质 312

6.5 均方微积分 313

一、随机序列的均方收敛 313

二、均方连续 315

三、均方导数 315

四、均方积分（随机积分） 317

五、随机微分方程简介 319

习题6 321

参考答案 325

习题1 325

习题2 328

习题3 334

习题4 335

习题5 336

习题6 339

参考文献 342