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绪论 1

第1章 集合和集合论 5

1.1 集合论语言 5

1.2 集合的幂集 8

1.3 集合的运算 9

1.4 集合论公理 10

1.5 从集合论观点看中学数学中的某些概念和问题 14

研究与思考题 20

第2章 关系和映射（函数） 21

2.1 笛卡儿（Descartes）积 21

2.2 关系及其性质 22

2.3 等价关系 27

2.4 序关系 28

2.5 映射和函数 31

2.6 中学数学中的关系和映射（函数） 37

研究与思考题 39

第3章 代数 41

3.1 代数运算 41

3.2 运算律 43

3.3 逆运算 45

3.4 数学结构 46

3.5 与中学数学有关的代数系统 51

研究与思考题 55

第4章 数学归纳法 56

4.1 皮亚诺（Peano）公理与数学归纳法原理 56

4.2 数学归纳法在应用中应注意的问题 59

研究与思考题 63

第5章 数系 65

5.1 自然数系 65

5.2 整数系 70

5.3 有理数系 75

5.4 实数系 79

5.5 复数系 83

5.6 四元数与八元数 85

5.7 数系的无限扩充 90

5.8 超限数与中学数学 94

研究与思考题 95

第6章 代数数、超越数和几何作图不能问题 96

6.1 代数数和超越数 96

6.2 几何作图不能问题 101

研究与思考题 106

第7章 几何 107

7.1 《几何原本》与欧氏几何 107

7.2 《几何基础》和近代公理法 111

7.3 爱尔兰根纲领与几何学的统一 116

7.4 微分几何学——高斯—博内公式 119

7.5 长度、面积和体积 122

7.6 向量几何 128

7.7 中学几何的几个问题 131

研究与思考题 147

第8章 图形与拓扑学大意 149

8.1 图形的性质和拓扑空间 149

8.2 同胚和同胚不变性 153

8.3 维数的定义 158

8.4 图形的连通性 161

8.5 闭多面形的欧拉定理 164

8.6 简单的组合几何问题 167

8.7 简单的图论问题 177

研究与思考题 183

第9章 分形几何概观 185

9.1 分形几何的产生 185

9.2 分形与分维 186

9.3 分形的应用 190

9.4 分形进入中学数学课堂 197

研究与思考题 198

第10章 混沌学——非线性数学 199

10.1 混沌学的诞生 199

10.2 混沌的定义 200

10.3 混沌的应用 202

研究与思考题提示和参考答案 208

索引 215

参考文献 220