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第1章 向量的运算·平面与直线 1

1.1 数域 1

1.2 几何向量及其线性运算 3

1.2.1 向量的概念 3

1.2.2 向量的加法 4

1.2.3 数与向量的乘法 6

1.3 空间坐标系 8

1.3.1 向量和点的仿射坐标·直角坐标 8

1.3.2 用坐标进行向量的线性运算 12

1.3.3 推广 14

1.4.1 二阶与三阶行列式 17

1.4 向量的数量积·向量积和混合积 17

1.4.2 两向量的数量积 19

1.4.3 两向量的向量积 27

1.4.4 三个向量的混合积 30

1.5 直角坐标系下平面的方程 32

1.5.1 平面及其方程 32

1.5.2 两平面的相关位置 35

1.5.3 两平面的夹角 36

1.5.4 点到平面的距离 37

1.6 空间直线及其方程 38

1.6.1 直线的方程 38

1.6.3 直线与平面的相关位置 41

1.6.2 两直线的相关位置 41

1.6.4 两直线的夹角·直线和平面的夹角 43

1.6.5 点到直线的距离·两条直线之间的距离 44

1.7 小结 45

习题 47

第2章 方阵的行列式·线性方程组 53

2.1 矩阵及其初等变换 53

2.1.1 矩阵的概念 53

2.1.2 矩阵的初等变换 57

2.2 方阵的行列式 58

2.2.1 n元排列 59

2.2.2 n阶行列式的定义 61

2.3 行列式的性质 65

2.4 行列式按行(列)展开 71

2.4.1 行列式按一行(列)展开 71

2.4.2 拉普拉斯(Laplace)展开定理 79

2.5 m×n线性方程组 83

2.5.1 矩阵消元法 83

2.5.2 m×n方程组解的情况 90

2.6 n×n线性方程组 98

2.6.1 用行列式判断n×n方程组解的情况 99

2.6.2 克拉默(Cramer)法则 101

2.7 小结 103

习题 105

第3章 矩阵及其运算 112

3.1 矩阵的运算 112

3.1.1 矩阵的加法 112

3.1.2 矩阵的数量乘法 114

3.1.3 矩阵的乘法 115

3.1.4 方阵的幂·矩阵的多项式 121

3.1.5 矩阵的转置与矩阵运算的关系 125

3.1.6 矩阵乘法的技巧 126

3.2 几类常用的特殊矩阵·方阵的迹 130

3.2.1 初等矩阵 131

3.2.2 上(下)三角矩阵 133

3.2.3 对称矩阵与反对称矩阵 134

3.2.4 方阵的迹 135

3.3 矩阵乘积的行列式·可逆矩阵 136

3.3.1 矩阵乘积的行列式 136

3.3.2 可逆矩阵 137

3.3.3 求逆矩阵的方法 143

3.3.4 矩阵方程 147

3.4 矩阵的分块 151

3.4.1 矩阵的分块运算 152

3.4.2 分块矩阵的初等变换 160

3.5.1 矩阵的秩 165

3.5 矩阵的秩·矩阵的相抵 165

3.5.2 矩阵秩的计算 167

3.5.3 矩阵的相抵(或等价) 169

3.5.4 矩阵经运算后秩的变化 172

3.6 小结 174

习题 177

第4章 线性空间 184

4.1 线性空间 184

4.1.1 线性空间概念的形成 184

4.1.2 线性空间的基本性质 187

4.2 子空间·线性组合 188

4.3.1 线性相关与线性无关 193

4.3 向量的线性相关性 193

4.3.2 Pn中的向量的线性相关性 199

4.4 向量组的秩 204

4.4.1 向量组的等价 204

4.4.2 极大无关组 207

4.4.3 向量组的秩与矩阵秩的关系 209

4.5 维数与基·坐标 213

4.5.1 维数与基 213

4.5.2 坐标 215

4.5.3 基变换与坐标变换 219

4.6.1 映射 224

4.6 线性空间的同构 224

4.6.2 线性空间的同构 226

4.7 线性方程组(续) 230

4.7.1 线性方程组有解判别定理 230

4.7.2 线性方程组解的结构 233

4.8 小结 242

习题 245

第5章 线性变换 256

5.1 线性变换的定义与运算 256

5.1.1 定义·例子·基本性质 256

5.1.2 线性变换的运算 261

5.2 线性变换的矩阵 263

5.2.1 线性变换在一组基下的矩阵 264

5.2.2 L(V)与Pn×n的同构 269

5.2.3 线性变换在不同基下的矩阵 272

5.2.4 矩阵的相似 275

5.3 特征值与特征向量 278

5.3.1 特征值与特征向量的概念和计算 279

5.3.2 特征值和特征向量的性质 288

5.4 具有对角矩阵的线性变换 295

5.4.1 线性变换可对角化的条件 295

5.4.2 化方阵为三角矩阵 301

5.5 线性变换的一些应用 305

5.6 小结 309

习题 311

第6章 欧几里得(Eucild)空间 317

6.1 内积·欧氏空间 317

6.1.1 内积 317

6.1.2 向量的长度和向量的夹角 320

6.1.3 n维欧氏空间的度量矩阵 322

6.2 标准正交基·欧氏空间的同构 324

6.2.1 标准正交基·正交矩阵 324

6.2.2 欧氏空间的同构 333

6.3 正交变换 334

6.4 对称变换与实对称矩阵 338

6.4.1 对称变换 338

6.4.2 实对称矩阵的对角化 339

6.5 小结 346

习题 348

第7章 常见曲面 352

7.1 曲面及其方程 352

7.1.1 曲面和曲线的普通方程 352

7.1.2 柱面 354

7.1.3 锥面 355

7.1.4 旋转面 357

7.2.1 椭球面 359

7.2 二次曲面 359

7.2.2 抛物面 361

7.2.3 双曲面 362

7.3 空间曲线的方程·曲面所围成的区域 364

7.3.1 空间曲线的方程 364

7.3.2 曲线在坐标面上的投影 366

7.3.3 曲面所围成区域的画法 367

7.4 几何空间的坐标变换 369

7.4.1 仿射坐标变换 369

7.4.2 直角坐标变换 371

7.5 小结 374

习题 376

第8章 二次型 378

8.1 引言 378

8.2 二次型及其标准形·矩阵的合同 382

8.2.1 二次型及其矩阵表示 382

8.2.2 满秩线性替换·矩阵的合同 384

8.3 化二次型为标准形 386

8.3.1 用正交替换化实二次型为标准形 386

8.3.2 用满秩线性替换化二次型为标准形 394

8.4 二次型的规范形·惯性定理 397

8.5.1 正定二次型 401

8.5 正定二次型与正定矩阵 401

8.5.2 正定矩阵 403

8.5.3 其他类型的实二次型 407

8.5.4 一个应用 408

8.6 小结 409

习题 411

第9章 抽象代数基本概念介绍 415

9.1 群的定义和例子 415

9.1.1 代数系统 415

9.1.2 群的概念和例子 416

9.2.1 群的简单性质 420

9.2 群的简单性质·子群 420

9.2.2 子群 421

9.2.3 群元素的阶 423

9.3 同构 424

9.4 环与域 426

9.4.1 环 426

9.4.2 域 429

9.5 子环·子域·同构 430

9.6 小结 431

习题 433

习题答案与提示 435

附录 双重连加号∑∑·连乘号Ⅱ 450

参考书目 453