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第一章 集合与函数 1

第一节 集合与映射 1

一、集合及其运算 1

二、映射 5

习题1-1 9

第二节 函数的概念与基本性质 10

一、函数的概念 10

二、函数的基本性质 14

三、函数的代数运算 16

四、反函数 17

习题1-2 18

第三节 初等函数 20

一、基本初等函数 20

二、初等函数 23

习题1-3 27

第二章 数列的极限与常数项级数 29

第一节 数列极限的概念 29

一、数列 29

二、数列极限的定义 30

习题2-1 34

第二节 数列极限的性质及收敛准则 35

一、数列极限的性质 35

二、数列的收敛准则 39

习题2-2 41

第三节 数列极限的运算 42

一、无穷小数列 42

二、无穷大数列 43

三、数列极限的运算法则 45

习题2-3 49

第四节 常数项级数的概念和性质 50

一、无穷级数的概念 50

二、级数收敛的必要条件 53

三、收敛级数的基本性质 54

习题2-4 56

第五节 常数项级数敛散性判别法 56

一、正项级数敛散性判别法 56

二、交错级数及其敛散性判别法 62

三、任意项级数及其敛散性判别法 63

习题2-5 66

第三章 函数的极限与连续性 67

第一节 函数的极限 67

一、x→∞时，函数的极限 67

二、x→x0时，函数的极限 69

三、函数极限的性质 73

四、x→x0时，函数 f(x)的左右极限 74

习题3-1 75

第二节 无穷小量、无穷大量 76

一、无穷小量 76

二、无穷大量 80

习题3-2 82

第三节 函数极限的运算 83

一、极限的运算法则 83

二、极限运算举例 84

习题3-3 87

第四节 函数极限存在性定理 87

一、夹逼定理 87

二、函数极限与数列极限的关系 88

三、柯西收敛准则 90

习题3-4 90

第五节 两个重要极限 91

一、lim x→0 sinx/x=1 91

二、lim x→∞(1+1/x)x=e 94

习题3-5 97

第六节 无穷小量的比较 97

一、无穷小量比较的概念 97

二、关于等价无穷小量的性质和定理 98

习题3-6 100

第七节 函数的连续性 101

一、函数连续性的概念 101

二、函数的间断点 104

习题3-7 107

第八节 连续函数的性质 107

一、连续函数的基本性质 107

二、初等函数的连续性 111

习题3-8 112

第九节 闭区间上连续函数的性质 112

一、闭区间上连续函数的性质 112

二、函数的一致连续性 117

习题3-9 118

第十节 函数项级数 119

一、函数项级数的一般概念 119

二、幂级数 121

习题3-10 126

第四章 一元函数的导数和微分 127

第一节 导数的概念 127

一、导数的引入 127

二、导数的定义 128

三、导数的几何意义 133

四、可导与连续的关系 134

习题4-1 135

第二节 求导法则 137

一、函数四则运算的求导法则 137

二、复合函数的求导法则 139

三、反函数的求导法则 141

四、基本导数公式 142

五、隐函数的求导法则 144

六、取对数求导法 145

七、参数方程的求导法则 145

习题4-2 147

第三节 高阶导数 149

习题4-3 152

第四节 微分及其运算 153

一、微分的概念 153

二、微分与导数的关系 154

三、微分的几何意义 156

四、复合函数的微分及微分公式 156

五、高阶微分 158

习题4-4 159

第五节 微分中值定理 160

一、罗尔中值定理 160

二、拉格朗日中值定理 163

三、柯西中值定理 166

习题4-5 167

第六节 洛必达法则 168

一、0/0型不定式 168

二、∞/∞型不定式 170

三、其它不定式 172

习题4-6 174

第七节 泰勒公式 175

一、泰勒公式 175

二、函数的泰勒展开举例 179

习题4-7 182

第五章 一元函数的积分 183

第一节 定积分的概念 183

一、曲边梯形的面积 183

二、定积分的概念 184

三、定积分的性质 187

习题5-1 192

第二节 定积分的基本定理 192

一、原函数与积分上限函数 193

二、微积分的基本公式 196

习题5-2 197

第三节 原函数的求法与不定积分 198

一、不定积分的概念和性质 198

二、求不定积分的方法 201

三、有理函数的积分 214

四、三角函数有理式的积分 218

五、积分表的使用 221

习题5-3 222

第四节 定积分的计算 223

一、定积分的换元法 223

二、定积分的分部积分法 227

习题5-4 230

第五节 广义积分 231

一、无穷积分 231

二、瑕积分 235

三、Γ函数 239

四、广义积分的收敛原理 241

五、广义积分的柯西主值 242

习题5-5 243

第六章 一元微积分的应用 245

第一节 函数的单调性与凸性 245

一、函数的单调性 245

二、函数的凸性 248

习题6-1 252

第二节 函数的极值和最值 252

一、函数的极值 252

二、拐点与导函数极值点之间的关系 256

三、最优化问题 257

习题6-2 260

第三节 函数图形的描绘 262

一、渐近线 263

二、函数图形的描绘 264

习题6-3 267

第四节 函数展开为幂级数 268

一、幂级数的解析性质 268

二、函数展开为幂级数 270

三、函数幂级数展开式的应用举例 277

习题6-4 278

第五节 平面图形的面积 279

一、建立定积分数学模型的微元法 279

二、平面图形的面积 281

习题6-5 286

第六节 体积 287

一、平行截面面积为已知的立体体积 287

二、旋转体的体积 289

习题6-6 291

第七节 弧长及旋转体的侧面积 292

一、弧长的概念 292

二、弧长的计算 292

三、弧微分的几何意义 296

四、旋转体的侧面积 297

习题6-7 298

第八节 曲率 299

习题6-8 303

第九节 微积分在物理学中的应用 303

一、相关变化率 303

二、变力作功 304

三、液体静压力 307

四、质量分布不均匀的线状体的质量 309

习题6-9 309

第十节 微积分在经济学中的应用 310

一、边际函数 310

二、函数的弹性 311

三、增长率 312

习题6-10 313

第七章 常微分方程 314

第一节 微分方程的基本概念 314

习题7-1 318

第二节 一阶微分方程 318

一、变量可分离方程 319

二、齐次方程 320

三、可化为齐次方程的方程 322

四、一阶线性微分方程 323

五、伯努利方程 326

习题7-2 328

第三节 几类可降阶的高阶微分方程 329

一、y(n)=f(x)型的微分方程 329

二、y″=f(x，y′)型的微分方程 331

三、y″=f(y，y′)型的微分方程 332

四、可利用参变量降阶的方程 334

习题7-3 335

第四节 线性微分方程解的结构与幂级数解法 335

一、线性微分方程解的结构 335

二、线性微分方程的幂级数解法 340

习题7-4 344

第五节 高阶常系数线性微分方程 345

一、特征方程与特征根 345

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 346

三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 348

四、n 阶常系数齐次线性微分方程的解法 352

五、n 阶常系数非齐次线性微分方程的解法 354

习题7-5 356

第六节 欧拉方程 357

习题7-6 360

第七节 常系数线性微分方程组 360

习题7-7 363

第八章 常差分方程 365

第一节 差分与差分运算 365

一、差分的基本概念 365

二、差分运算的性质 366

三、几个基本定理 370

习题8-1 375

第二节 常差分方程的基本概念与差分方程模型 375

一、常差分方程的基本概念 375

二、差分方程模型 377

习题8-2 379

第三节 一阶线性差分方程 380

一、一阶齐次线性差分方程 380

二、一阶非齐次线性差分方程 382

习题8-3 388

第四节 高阶线性差分方程 388

一、线性差分方程解的结构 388

二、常系数齐次线性差分方程 392

三、常系数非齐次线性差分方程 395

习题8-4 400

第五节 差分方程组 400

一、用差分方程组表示的数学模型 400

二、常系数线性差分方程组的求解方法 402

习题8-5 404

附录 积分表 405

一、含有 ax+b 的积分 405

二、含有√ax+b 的积分 405

三、含有 x2±a2的积分 406

四、含有 ax2+b(a＞0)的积分 406

五、含有 ax2+bx+c(a＞0)的积分 407

六、含有√x2+a2(a＞0)的积分 407

七、含有√x2-a2(a＞0)的积分 408

八、含有√a2-x2(a＞0)的积分 408

九、含有√±ax2+bx+c(a＞0)的积分 409

十、含有√±x-a/x-b 或√(x-a)(b-x)的积分 410

十一、含有三角函数的积分 410

十二、含有反三角函数的积分 412

十三、含有指数函数的积分 412

十四、含有对数函数的积分 413

十五、含有双曲函数的积分 413

十六、定积分 413

习题答案 415