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第一章 集合，笛卡尔坐标系 1

1.1 集合 1

1.2 直线上点的笛卡尔坐标 4

1.3 平面上点的笛卡尔坐标 6

1.4 空间中点的笛卡尔坐标 10

1.5 平面极坐标，空间柱坐标和空间球坐标 13

第二章 平面解析几何 21

2.1 平面曲线 21

2.2 平面直线 25

2.3 平面圆锥曲线 38

（一）椭圆 38

（二）双曲线 45

（三）抛物线 52

（四）正圆锥上的曲线 56

2.4 坐标方法 58

2.5 坐标变换和平面二次曲线的分类 64

第三章 空间曲面 79

3.1 空间曲面的定义 79

3.2 空间平面 81

3.3 二次曲面 85

3.4 二次直纹面 102

第四章 行列式理论 107

4.1 排列 107

4.2 和号∑ 114

4.3 三阶行列式 121

4.4 n阶行列式 124

4.5 代数余子式.Laplace展开式 131

4.6 行列式计算的一些技巧 138

4.7 Cramer法则 151

附录 数学证明 156

第五章 矩阵及其代数运算 161

5.1 矩阵的代数运算 161

5.2 Binet-Cauchy公式 178

5.3 矩阵的秩和逆方阵 184

5.4 初等变换和矩阵的相抵 193

第六章 线性方程组的理论 204

6.1 非齐次线性方程组 204

6.2 齐次线性方程组 214

6.3 方阵的特征根 218

第七章 线性（向量）空间 227

7.1 向量 227

7.2 平面直线，空间直线和平面 242

7.3 n维线性（向量）空间 250

7.4 n维线性空间的基 259

7.5 n维线性空间的同构 262

7.6 n维线性空间的子空间 266

7.7 线性方程组求解的几何理论 276

7.8 基变换和坐标变换 279

第八章 线性变换 284

8.1 变换和变换的例 284

8.2 n维线性空间的线性变换 293

8.3 仿射空间 306

8.4 复仿射空间 314

第九章 Euclid空间 316

9.1 二维和三维Euclid空间，Euler角 316

9.2 向量积，Euclid空间的平面法线式 336

9.3 n维Euclid空间，Schmidt正交化 349

9.4 方阵在正交相似下的标准形 369

9.5 n维Euclid点空间中二次超曲面的正交分类 389

9.6 定正对称方阵及方阵的极分解 404

第十章 酉空间 424

10.1 n维酉空间，Schmidt正交化 424

10.2 在酉相似下复方阵的标准形 428

10.3 定正Hermite方阵及复方阵的极分解 433

第十一章 二次型分类 437

11.1 线性函数和双线性函数 437

11.2 对称方阵在相合下的标准形 447

11.3 n维实仿射（点）空间二次超曲面的仿射分类 470

11.4 斜对称方阵在相合下的标准形 476

11.5 复对称及复斜对称方阵在酉相合下的标准形 479

第十二章 射影空间 485

12.1 射影直线 485

12.2 射影平面 493

12.3 n维射影空间和n维复射影空间 501

12.4 各种几何学间的关系 508

第十三章 方阵在相似下的标准形 515

13.1 复系数多项式的最大公因子 515

13.2 λ矩阵在相抵下的标准形 519

13.3 方阵在相似下的标准形 534

13.4 方阵函数和方阵幂级数 552

第十四章 方阵在复相似下的标准形 573

14.1 方阵在复相似下的标准形（一） 573

14.2 方阵在复相似下的标准形（二） 580

第十五章 矩阵偶的标准形理论 590

15.1 矩阵偶在相抵下的标准形 590

15.2 复对称及复斜对称方阵偶在相合下的标准形 606

第十六章 环和域 615

16.1 环和域的定义 615

16.2 子环，理想子环，商环 628

16.3 环的同态及同态基本定理 635

16.4 整数环及剩余式 642

16.5 整环的分式域 654

16.6 域上线性空间 658

16.7 多重线性函数和张量 663

16.8 辛空间 677

第十七章 初等析因理论 681

17.1 因子分解和分解的唯一性 681

17.2 主理想整环和Euclid整环 689

第十八章 多项式环 695

18.1 多项式环 695

18.2 唯一析因整环上的多项式环的初等析因理论 701

18.3 域上多项式环 709

18.4 域上多元多项式环，对称多项式 720

第十九章 域上多项式的根 731

19.1 域的扩张，域上多项式根的存在定理 731

19.2 有理数域上多项式的根 740

19.3 实数域上多项式的根，Sturm定理 742

19.4 复数域上多项式的根，代数基本定理 747

19.5 结式和判别式 754

第二十章 群 759

20.1 群的定义 759

20.2 变换群，对称群，循环群 765

20.3 子群，正规子群，商群 771

20.4 群的同态及同态基本定理 776

20.5 具有有限生成元的交换群基本定理 780