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第一章 算法与误差 1

第一节 引言 1

一、 计算方法研究的对象与任务 1

二、 算法的概念 1

第二节 误差的基本概念 2

一、 误差的来源 2

二、 绝对误差、相对误差、有效数字 2

三、 误差的传播 5

四、 误差分析的方法与原则 5

习题一 7

第二章 方程的近似解法 8

第一节 对分法 8

第二节 迭代法的一般原理 11

一、 基本概念 11

二、 迭代序列的收敛法 12

三、 迭代次数的控制 14

第三节 牛顿法 17

一、 牛顿迭代法及其几何意义 17

二、 迭代序列的收敛性 18

第四节 弦截法 21

习题二 22

第三章 线性方程组的计算方法 23

第一节 迭代法 23

一、 简单迭代法 23

二、 赛德尔迭代法 27

三、 化方程组Ax=b为便于迭代的形式 28

第二节 消去法 31

一、 高斯消去法 31

二、 主元素消去法 34

第三节 消去法的紧凑格式 38

习题三 40

第四章 插值法与曲线拟合 42

第一节 插值的一般问题 42

一、 引言 42

二、 插值多项式的存在、唯一性 43

第二节 拉格朗日插值公式 44

一、 基函数 44

二、 拉格朗日插值多项式 44

三、 插值多项式的余项 45

四、 线性插值与抛物插值 47

第三节 牛顿插值公式 49

一、 基函数 49

二、 差商与差分 50

三、 牛顿差商插值 51

四、 牛顿差分插值 53

第四节 埃尔米特插值 56

一、 埃尔米特插值的概念 56

二、 基函数与插值多项式 56

第五节 三次样条插值 59

一、 三次样条函数的概念 59

二、 三次样条插值函数 60

三、 算法举例 64

第六节 最小二乘法 65

第七节 多项式拟合 67

一、 最小二乘多项式拟合的存在唯一性 67

二、 算法举例 68

习题四 71

第五章 数值积分与数值微分 74

第一节 牛顿—柯特斯求积公式 74

一、 牛顿—柯特斯求积公式 74

二、 牛顿—柯特斯求积公式的数值稳定性 76

第二节 复化求积公式 77

一、 复化梯形公式 77

二、 复化辛卜生公式 79

三、 复化柯特斯公式 79

第三节 求积公式的截断误差 81

一、 牛顿—柯特斯公式的截断误差 81

二、 复化求积公式的截断误差 82

三、 化数精确度 84

第四节 龙贝格积分法 85

第五节 高斯求积公式 89

一、 高斯节点 89

二、 高斯—勒让德求积公式 90

第六节 数值微分 92

一、 中点方法 92

二、 插值型求导公式 93

习题五 96

第六章 常微分方程数值解法 98

第一节 欧拉法及改进欧拉法 98

一、 欧拉法 98

二、 改进的欧拉法 100

第二节 龙格—库塔法 102

一、 二阶龙格—库塔法 103

二、 四阶龙格—库塔法 104

第三节 线性多步法 107

一、 阿达姆斯外推法 107

二、 阿达姆斯内插法 108

习题六 111

参考书目 112

习题答案 113