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第一章 预备 1

1.1 整除、互质和同余 1

1.1.1 整除和质数分解 1

1.1.2 同余式 7

1.2 排列和组合 11

1.2.1 排列与组合及其简单性质 11

1.2.2 排列和组合的生成 18

1.3 数学归纳法 19

1.3.1 数学归纳法的基本形式 20

1.3.2 数学归纳法的其他形式 21

1.4 小结 25

习题一 25

第二章 命题逻辑 27

2.1 基本概念 27

2.1.1 命题与逻辑联结词 27

2.1.2 命题公式与类型 32

2.2 等值演算 35

2.2.1 等值和基本等值式 35

2.2.2 置换规则 37

2.2.3 联结词的全功能集 39

2.3 范式 40

2.3.1 析取范式和主析取范式 41

2.3.2 合取范式和主合取范式 46

2.4 公式的蕴涵和推理 49

2.5 小结 55

习题二 55

第三章 一阶谓词逻辑 58

3.1 基本概念 58

3.1.1 谓词和量词 58

3.1.2 一阶谓词公式和解释 60

3.2 等值演算和前束范式 64

3.2.1 等值演算 64

3.2.2 前束范式 68

3.3 公式的蕴涵和推理 70

3.4 小结 73

习题三 73

第四章 集合和二元关系 75

4.1 集合及其运算 75

4.1.1 集合及其表示 75

4.1.2 集合之间的关系和运算 76

4.1.3 集合恒等式 79

4.2 二元关系及其闭包 81

4.2.1 二元关系及其运算 81

4.2.2 二元关系的性质 84

4.2.3 二元关系的闭包 85

4.3 几种特殊的二元关系 87

4.3.1 等价关系 88

4.3.2 部分序关系 89

4.3.3 相容关系 91

4.4 映射与集合的等势 93

4.4.1 映射的基本概念 94

4.4.2 映射的性质 94

4.4.3 集合的等势 98

4.5 小结 101

习题四 102

第五章 群 106

5.1 代数系统 106

5.1.1 代数运算 106

5.1.2 代数系统及其同态和同构 109

5.2 群和子群 112

5.2.1 群的定义及其基本性质 112

5.2.2 子群和子群的判定 114

5.3 变换群和置换群 116

5.3.1 变换群 116

5.3.2 置换群 117

5.4 循环群 121

5.4.2 循环群的性质 122

5.4.1 循环群和生成元 122

5.5 群的陪集分解 127

5.5.1 陪集及其基本性质 127

5.5.2 有限群的陪集分解 130

5.5.3 正规子群和商群 131

5.6 群的同态和同构 133

5.6.1 同态映射的核 133

5.6.2 群同态基本定理 137

5.6.3 群的自同态和自同构 139

5.7 小结 140

习题五 141

第六章 环 144

6.1 环及其基本性质 144

6.1.1 环及其简单性质 144

6.1.2 子环 146

6.1.3 环的分类 146

6.2.1 理想子环和商环 149

6.2 环的同态和同构 149

6.2.2 环同态基本定理 152

6.2.3 素理想和极大理想 153

6.3 域 155

6.3.1 域的特征、素域 155

6.3.2 域的扩张 157

6.4 小结 159

习题六 160

第七章 格和布尔代数 162

7.1 格和子格 162

7.1.1 格的定义 162

7.1.2 子格 165

7.2 格的性质 166

7.2.1 格的基本性质 166

7.2.2 格的对偶原理 168

7.3 几种特殊的格 170

7.3.1 有界格和有余格 170

7.3.2 分配格和模格 171

7.4 布尔代数 174

7.4.1 布尔代数及其基本性质 174

7.4.2 亨廷顿公理 176

7.4.3 有限布尔代数 178

7.5 小结 181

习题七 181

第八章 图 185

8.1 图及其表示 185

8.1.1 图的概念 185

8.1.2 图的简单性质 189

8.1.3 子图 190

8.1.4 图的同构 192

8.1.5 图的矩阵表示 193

8.2 图的连通性 195

8.2.1 通路和回路 196

8.2.2 图的连通性 197

8.2.3 最短通路与迪杰斯特拉算法 201

8.3.1 欧拉图 204

8.3 欧拉图和哈密尔顿图 204

8.3.2 哈密尔顿图 207

8.4 平面图 210

8.4.1 平面图的概念 210

8.4.2 平面图的性质和特征 212

8.5 小结 215

习题八 215

9.1.1 无向树及其基本性质 219

第九章 树 219

9.1 无向树 219

9.1.2 最小生成树与克鲁斯卡尔算法 222

9.2 有向树 225

9.2.1 有向树和根树及其简单性质 225

9.2.2 最优二叉树与哈夫曼算法 228

9.3 小结 231

习题九 231