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第一章 方程的导出、分类与化简 1

1.1 波动方程的导出及其定解问题 2

1.1.1　弦振动方程及其定解问题 2

1.1.2　膜振动方程及其定解问题 4

1.2　热传导方程的导出及其定解问题 7

1.3　位势方程及其定解问题 10

1.4　定解问题的适定性 11

1.5　二元二阶线性方程的分类与化简 12

1.6　多元二阶线性方程的分类与化简 20

习题 23

第二章　波动方程 26

2.1 一维波动方程的达朗贝尔解法 26

2.1.1 无界弦的自由振动方程 26

2.1.2　半无界弦的自由振动方程 29

2.1.3　弦的强迫振动方程 31

2.2　解多维波动方程的球面平均法 35

2.2.1　多维波动方程的柯西问题 35

2.2.2　依赖区域、决定区域和影响区域 40

2.3 解波动方程混合问题的分离变量法 42

2.3.1 具狄利克雷边界条件的弦自由振动方程的混合问题 42

2.3.2　具诺伊曼与罗宾边界条件的弦自由振动方程的混合问题 47

2.3.3　非齐次问题的解法 55

2.3.4　高维波动方程的混合问题 57

2.4　分离变量法的理论基础 65

2.5 波动方程解的唯一性和稳定性 71

2.5.1 能量积分与混合问题解的唯一性和稳定性 71

2.5.2　柯西问题解的唯一性和稳定性 75

习题 79

第三章　热传导方程 83

3.1　傅里叶变换 83

3.1.1　傅里叶积分公式与傅里叶变换 83

3.1.2　傅里叶变换的性质 87

3.1.3　举例 89

3.2　热传导方程的柯西问题 91

3.2.1 泊松公式 91

3.2.2　热传导方程柯西问题解的存在性 92

3.3　热传导方程的混合问题 96

3.4　极值原理与定解问题的适定性 100

3.4.1　极值原理 100

3.4.2　第一边值问题解的最大模估计与适定性 103

3.4.3　第二、第三边值问题解的最大模估计与适定性 104

3.4.4　柯西问题解的适定性 108

习题 109

第四章　位势方程 114

4.1 极值原理与最大模估计 114

4.1.1　极值原理及其推论 114

4.1.2　定解问题解的最大模估计与适定性 119

4.1.3　调和方程的外问题 124

4.2　调和方程的格林函数 126

4.2.1　调和方程的基本解 127

4.2.2　格林公式 128

4.2.3　格林函数 132

4.2.4　球上的格林函数与泊松公式 136

4.2.5　半空间上的格林函数与泊松公式 141

4.3　调和函数的性质 146

4.4　牛顿位势与泊松方程 151

4.5　佩龙方法 156

习题 163

第五章　一阶偏微分方程 169

5.1　一阶拟线性偏微分方程 169

5.1.1　特征方程组与特征线 169

5.1.2　一阶拟线性偏微分方程的柯西问题 172

5.1.3　举例 176

5.2　一阶完全非线性偏微分方程 180

5.2.1　特征方程组与特征带 181

5.2.2　一阶完全非线性偏微分方程的柯西问题 185

5.3　用包络生成解 192

习题 200

附录A　柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 202

A.1　实解析函数 202

A.2　柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 208

习题 217

附录B 变分原理与偏微分方程的广义解 220

B.1　变分原理 220

B.2　偏微分方程的广义解 228

B.3　变分直接方法大意 236

习题 239

参考文献 241