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第一章 场论初步 1

1.1 梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式 1

一、直角坐标下的“三度”及Hamilton算子 1

二、正交曲线坐标系下的“三度” 4

三、“三度”的运算公式 10

1.2 正交曲线坐标系下的Laplace算符与Green第一、第二公式 13

1.3 算子方程 17

1.4 矢量场的梯度、张量及其计算 25

一、矢量的方向导数与梯度 25

二、张量的定义 27

三、张量的运算率 28

1.5 并矢分析 29

习题一 36

第二章 数学物理定解问题 40

2.1 基本方程的建立 40

2.2 定解条件 53

一、初始条件 53

二、边界条件 54

2.3 定解问题的提法 59

2.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简 60

一、两个自变量方程的分类与化简 60

二、常系数偏微分方程的进一步简化 66

三、线性偏微分方程的叠加原理 68

习题二 68

第三章 分离变量法 71

3.1 有界弦的自由振动问题 71

3.2 有限长杆上的热传导 81

3.3 二维Laplace方程的定解问题 85

3.4 高维Fourier级数及在高维定解问题中的应用 93

3.5 非齐次方程的解法 100

一、固有函数法 100

二、冲量法 107

三、特解法 113

3.6 非齐次边界条件的处理 116

习题三 126

第四章 二阶常微分方程的级数解法本征值问题 129

4.1 二阶常微分方程系数与解的关系 129

4.2 二阶常微分方程的级数解法 131

一、常点邻域内的级数解法 131

二、正则奇点附近的级数解法 134

4.3 Legendre(勒让德)方程的级数解 137

4.4 Bessel(贝塞尔)方程的级数解 141

4.5 Sturm-Liouville(斯特姆·刘维尔)本征值问题 149

习题四 156

第五章 特殊函数 158

5.1 正交曲线坐标系中的分离变量法 158

一、Laplace方程 159

二、Helmholtz方程 165

5.2 Legendre多项式 169

一、Legendre多项式的导出 169

二、Legendre多项式的微分表示 171

三、Legendre多项式的积分表示 173

四、Legendre多项式的母函数 174

五、Legendre多项式的递推公式 176

六、Legendre多项式的正交归一性 177

七、按只Pl(x)的广义Fourier级数展开 179

八、一个重要公式 180

九、Legendre多项式的应用 181

5.3 一般球函数 185

一、缔合Legendre函数 185

二、球函数 187

5.4 Bessel函数 201

一、柱函数 201

二、Bessel函数 202

三、虚宗Bessel函数 211

四、Bessel函数的应用 213

5.5 柱面波与球面波 235

一、柱面波 235

二、球面波 239

5.6 可化为Bessel方程的方程 241

一、Kelvin(W．Thomson)方程 242

二、其他例子 242

三、含Bessel函数的积分 243

5.7 其他特殊函数方程简介 250

一、Hermiter多项式 250

二、Laguerre多项式 252

习题五 254

第六章 行波法与积分变换法 261

6.1 一维波动方程的D Alembert(达朗贝尔)公式 261

6.2 三维波动方程的Poisson公式 266

6.3 Fourier积分变换法求定解问题 275

一、预备知识——Fourier变换及性质 276

二、Fourier变换法 278

6.4 Laplace变换法解定解问题 282

一、Laplace变换及其性质 282

二、Laplace变换法 284

习题六 287

第七章 Green函数法 292

7.1 引言 292

7.2 Poisson方程的边值问题 293

一、Green公式 294

二、解的积分形式——Green函数法 294

三、Green函数关于源点和场点是对称的 301

7.3 Green函数的一般求法 302

一、无界区域的Green函数 302

二、用本征函数展开法求边值间题的Green函数 304

7.4 用电像法求某些特殊区域的狄氏Green函数 307

一、泊松方程的狄氏Green函数及其物理意义 307

二、用电像法求Green函数 309

7.5 含时间的定解问题 315

7.6 矢量波动方程 322

一、格林定理的矢量表达式和波导管问题的应用 322

二、矢量波动方程的一般解 324

三、并矢格林函数和纯格林函数的关系 326

习题七 327

第八章 变分法 330

8.1 泛函和泛函的极值 330

8.2 用变分法解数理方程 342

8.3 与波导相关的变分原理及近似计算 353

一、共振频率的变分原理 353

二、波导的传播常数γ的变分原理 355

三、任意截面的柱形波导管截止频率的近似计算 357

习题八 372

第九章 积分方程的一般性质和解法 376

9.1 积分方程的分类 376

9.2 具有平方可积核的Fredholm方程的迭代解法 384

9.3 退化核方程化成代数方程求解 388

9.4 微分方程与积分方程的联系 391

习题九 395

参考文献 397