高等数学解题方法与同步训练PDF电子书下载

第1章 绪论 1

第2章 函数 3

2.1 学习要求 3

2.2 内容提要 3

2.2.1 函数 3

2.2.2 函数的四种特性 4

2.2.3 基本初等函数 4

2.2.4 常见的几种函数 5

2.3 主要解题方法 5

2.3.1 求函数定义域的方法 5

2.3.2 判断两个函数是否相同的方法 6

2.3.3 判断函数奇偶性的方法 6

2.3.4 将函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 7

2.3.5 建立实际问题的函数模型的方法 7

2.4 同步训练题 8

3.2.2 函数极限 9

3.2.1 数列极限 9

第3章 极限与连续 9

3.2 内容提要 9

3.1 学习要求 9

3.2.3 极限的性质 11

3.2.4 极限的四则运算法则 11

3.2.5 两个重要极限 11

3.2.6 无穷小量与无穷大量 11

3.2.7 无穷小量的运算 12

3.2.8 函数的连续性 12

3.3 主要解题方法 14

3.3.1 求数列极限的方法 14

3.3.2 求函数极限的方法 15

3.3.3 求分段函数在分段点处的极限的方法 17

3.3.5 判断函数的连续性的方法 18

3.3.4 利用已知极限求未知函数的方法 18

3.4 同步训练题 19

第4章 导数与微分 21

4.1 学习要求 21

4.2 内容提要 21

4.2.1 导数的概念 21

4.2.2 曲线的切线 22

4.2.3 变化率 22

4.2.4 可导与连续的关系 22

4.2.5 高阶导数 22

4.2.6 微分与线性主部 22

4.2.7 求导公式与法则，微分公式与法则 22

4.2.8 微分近似公式 22

4.3.3 求显函数的导数的方法 24

4.3.2 利用导数定义讨论函数的连续性与可导性的方法 24

4.3.1 利用导数定义求导数的方法 24

4.3 主要解题方法 24

4.3.4 求隐函数的导数的方法 26

4.3.5 求由参数方程所表示的函数的导数的方法 26

4.3.6 求函数的微分的方法 26

4.3.7 求函数的高阶导数的方法 27

4.4 同步训练题 27

第5章 导数的应用 29

5.1 学习要求 29

5.2 内容提要 29

5.2.1 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理 29

5.2.2 洛必达法则 30

5.2.3 函数的单调性定理 30

5.2.4 函数的极值、极值点与驻点 30

5.3.1 用洛必达法则求未定式的极限的方法 31

5.3 主要解题方法 31

5.2.7 曲线的水平渐近线、垂直渐近线与渐近线 31

5.2.5 函数的最大值与最小值 31

5.2.6 函数图形的下凸、上凸与拐点 31

5.3.2 求函数的单调区间与极值的方法 32

5.3.3 利用函数的单调性来证明不等式的方法 33

5.3.4 求函数的最大值与最小值的方法 34

5.3.5 求实际问题的最大值、最小值的方法 34

5.3.6 求曲线的拐点及凸向区间的方法 35

5.3.7 求曲线的渐近线的方法 35

5.3.8 一元函数图形的描绘方法 35

5.4 同步训练题 36

第6章 不定积分 38

6.1 学习要求 38

6.2 内容提要 38

6.2.1 原函数与不定积分 38

6.3 主要解题方法 39

6.3.1 直接积分法 39

6.2.2 不定积分的基本积分公式 39

6.2.4 分部积分公式 39

6.2.3 不定积分的性质 39

6.3.2 第一换元积分法(凑微分法) 40

6.3.3 第二换元积分法 41

6.3.4 分部积分法 42

6.4 同步训练题 44

第7章 定积分 45

7.1 学习要求 45

7.2 内容提要 45

7.2.1 曲边梯形 45

7.2.2 定积分的概念与定积分的几何意义 45

7.2.3 定积分的性质 46

7.2.6 微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式） 47

7.2.5 无穷区间上的广义积分 47

7.2.4 变上限的定积分 47

7.2.7 定积分的计算 48

7.3 主要解题方法 48

7.3.1 变上限的定积分对上限的求导方法 48

7.3.2 利用换元积分法计算定积分的方法 49

7.3.3 利用分部积分法计算定积分的方法 49

7.3.4 利用函数的奇偶性计算定积分的方法 51

7.3.5 无穷区间上的广义积分的计算方法 51

7.4 同步训练题 52

第8章 定积分的应用 53

8.1 学习要求 53

8.2 内容提要 53

8.2.1 定积分的微元法 53

8.2.2 面积微元与体积微元 53

8.3.1 求平面图形的面积的方法 54

8.3 主要解题方法 54

8.2.3 弧微元与平面曲线弧微分公式 54

8.3.2 求旋转体的体积的方法 56

8.3.3 求曲线的弧长的方法 56

8.3.4 求变力所做的功的方法 56

8.3.5 求液体的侧压力的方法 57

8.4 同步训练题 57

第9章 常微分方程 59

9.1 学习要求 59

9.2 内容提要 59

9.2.1 微分方程 59

9.2.2 常微分方程 59

9.2.3 微分方程的阶、解与通解 59

9.2.4 初始条件与特解 59

9.2.8 二阶常系数齐次线性微分方程 60

9.2.7 线性微分方程 60

9.2.6 可分离变量的微分方程 60

9.2.5 线性相关与线性无关 60

9.2.9 二阶常系数非齐次线性微分方程 61

9.2.10 二阶线性微分方程解的结构 61

9.2.11 二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程与特征根 61

9.3 主要解题方法 61

9.3.1 一阶微分方程的可分离变量法 61

9.3.2 一阶线性微分方程的常数变易法 62

9.3.3 高阶微分方程的降阶法 64

9.3.4 常系数齐次线性微分方程的特征方程法 64

9.3.5 常系数非齐次线性微分方程的待定系数法 65

9.3.6 用微分方程解决实际问题的举例 67

9.4 同步训练题 69

10.2 内容提要 71

10.2.1 空间直角坐标系 71

10.1 学习要求 71

第10章 空间解析几何与向量 71

10.2.2 向量 72

10.2.3 向量的模与单位向量 72

10.2.4 自由向量与向径 72

10.2.5 向量的线性运算 72

10.2.6 向量的坐标 73

10.2.9 向量的数量积与向量积 74

10.2.8 向量的方向余弦 74

10.2.7 两点间距离公式 74

10.2.10 平面方程 75

10.2.11 直线方程 76

10.2.12 曲面方程 77

10.2.13 柱面 77

10.2.14 旋转曲面 78

10.2.15 二次曲面 78

10.3.1 向量的运算 79

10.2.16 空间曲线在坐标面上的投影 79

10.3 主要解题方法 79

10.3.2 利用向量运算建立平面方程或直线方程的方法 80

10.3.3 求空间曲线在坐标面上的投影的方法 82

10.4 同步训练题 83

第11章 多元函数微分学 85

11.1 学习要求 85

11.2 内容提要 85

11.2.1 二元函数 85

11.2.2 二元函数的几何意义 85

11.2.3 二元函数的极限与连续 85

11.2.4 偏导数的定义 86

11.2.5 高阶偏导数 87

11.2.6 复合函数求偏导数的公式 87

11.2.8 隐函数的微分法 88

11.2.7 全微分 88

11.2.9 曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程 89

11.2.10 二元函数的极值与驻点 90

11.2.11 条件极值与拉格朗日乘数法 90

11.3 主要解题方法 91

11.3.1 求二元函数的定义域的方法 91

11.3.2 求多元函数的偏导数的方法 91

11.3.3 利用公式求隐函数的导数或偏导数的方法 92

11.3.4 偏导数的应用 92

11.4 同步训练题 96

第12章 多元函数积分学 98

12.1 学习要求 98

12.2 内容提要 98

12.2.1 二重积分及其几何意义 98

12.2.2 二重积分的性质 98

12.2.5 曲线积分与路径无关 99

12.2.3 对坐标的曲线积分 99

12.2.4 对坐标的曲线积分的性质 99

12.2.6 格林定理 100

12.2.7 曲线积分与路径无关的定理 100

12.3 主要解题方法 100

12.3.1 在直角坐标系下二重积分的计算方法 100

12.3.2 在直角坐标系下二重积分的交换积分次序的方法 103

12.3.3 在极坐标系下二重积分的计算方法 104

12.3.4 对坐标的曲线积分的计算方法 105

12.4 同步训练题 107

第13章 无穷级数 109

13.1 学习要求 109

13.2 内容提要 109

13.2.1 数项级数 109

13.2.4 数项级数的性质 110

13.2.5 正项级数及其收敛判别法 110

13.2.3 级数的收敛、发散与级数和 110

13.2.2 前n项部分和与部分和数列 110

13.2.6 交错级数与莱布尼兹判别法 111

13.2.7 绝对收敛与条件收敛 111

13.2.8 两个重要级数 111

13.2.9 幂级数 112

13.2.10 泰勒级数与麦克劳林级数 113

13.2.11 常用初等函数的麦克劳林展开式 114

13.2.12 傅里叶级数 115

13.3 主要解题方法 116

13.3.1 数项级数敛散性的判别方法 116

13.3.2 求幂级数的收敛区间或收敛域的方法 118

13.3.3 将函数展开成幂级数的方法 118

13.3.4 求幂级数的和函数的方法 120

13.3.5 幂级数的应用 121

13.3.6 傅里叶级数的展开法 122

13.4 同步训练题 125

第14章 矩阵 127

14.1 学习要求 127

14.2 内容提要 127

14.2.1 矩阵的概念 127

14.2.2 同型矩阵与矩阵相等 128

14.2.3 矩阵的加法、数乘与乘法的定义 128

14.2.4 矩阵的加法、数乘与乘法的运算性质 129

14.2.5 转置矩阵与单位矩阵 129

14.2.6 转置矩阵的运算性质 129

14.2.7 矩阵的初等行变换、初等变换与初等矩阵 130

14.2.8 阶梯形矩阵、矩阵的秩与满秩矩阵 130

14.2.11 上（下）三角形行列式 131

14.2.10 行列式的性质 131

14.2.9 方阵的行列式的定义 131

14.2.12 克拉默(Cramer)法则 132

14.2.13 可逆矩阵与逆矩阵 132

14.2.14 逆矩阵的性质 133

14.2.15 线性方程组与增广矩阵 133

14.2.16 判定线性方程组是否有解的定理 134

14.3 主要解题方法 134

14.3.1 矩阵的乘法运算 134

14.3.2 运用初等行变换求逆矩阵的方法 135

14.3.3 运用逆矩阵解矩阵方程的方法 136

14.3.4 化上（下）三角形行列式求行列式的方法 138

14.3.5 用高斯消元法求解线性方程组的方法 138

14.4 同步训练题 140

同步训练题答案与提示 143

参考文献 149