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第二篇 微积分 1

第8章 无穷级数 1

8.1 数项级数的收敛与发散 1

8.1.1 基本概念 1

8.1.2 收敛级数的性质 5

习题8.1 7

8.2 正项级数 8

8.2.1 有界性准则 9

8.2.2 比较判别法 10

8.2.3 比值判别法 13

8.2.4 根值判别法 15

8.2.5 积分判别法 16

习题8.2 17

8.3 一般级数 19

8.3.1 交错级数 19

8.3.2 绝对收敛与条件收敛 20

8.3.3 绝对收敛级数的性质 21

习题8.3 24

8.4 函数项级数的基本概念 26

8.4.1 函数项级数的概念 26

8.4.2 函数项级数的一致收敛性 27

8.4.3 一致收敛级数的性质 30

习题8.4 31

8.5 幂级数及其收敛性 32

8.5.1 幂级数的收敛半径与收敛区间 33

8.5.2 收敛半径的求法 35

8.5.3 幂级数的性质 38

习题8.5 42

8.6 Taylor级数 43

8.6.1 基本定理 43

8.6.2 将函数展开为幂级数 46

习题8.6 51

8.7 周期函数的Fourier级数 52

8.7.1 正交三角函数系 52

8.7.2 Fourier级数 54

8.7.3 Dirichlet收敛定理 55

8.7.4 正弦级数和余弦级数 57

习题8.7 59

8.8 任意区间上的Fourier级数 60

8.8.1 区间[—π，π]上的Fourier级数 60

8.8.2 区间[—ι，ι]上的Fourier级数 62

习题8.8 65

8.9 Fourier级数的复数形式 66

习题8.9 69

总习题8 69

第9章 多元函数的微分学 74

9.1 n维欧氏空间 74

9.1.1 n维欧氏空间Rn 74

9.1.2 邻域 75

9.1.3 内点、外点、边界点、聚点 76

9.1.4 开集 76

9.1.5 闭集 76

9.1.6 区域 76

习题9.1 77

9.2 多元函数的极限与连续 77

9.2.1 多元函数的概念 77

9.2.2 二元函数的几何意义 78

9.2.3 等高线和等位面 78

9.2.4 极限与连续 79

习题9.2 80

9.3 偏导数和全微分 81

9.3.1 偏导数 81

9.3.2 全微分 83

9.3.3 可微性与连续性、偏导数存在性的关系 83

习题9.3 86

9.4 复合函数微分法和高阶全微分 87

9.4.1 复合函数求导法 87

9.4.2 一阶全微分形式不变性 89

9.4.3 高阶偏导数和高阶全微分 90

习题9.4 92

9.5 方向导数与梯度 93

9.5.1 方向导数 93

9.5.2 梯度 95

习题9.5 96

9.6 隐函数微分法 97

9.6.1 函数隐藏于一个方程的情形 97

9.6.2 函数隐藏于方程组的情形 99

9.6.3 隐函数存在定理 101

习题9.6 104

9.7 多元函数的Taylor公式 105

习题9.7 107

9.8 多元函数的极值 107

9.8.1 多元函数极值 107

9.8.2 极值的必要条件 107

9.8.3 极值的充分条件 108

9.8.4 最大值和最小值 111

习题9.8 112

9.9 多元函数的条件极值 113

9.9.1 条件极值 113

9.9.2 Lagrange乘数法 113

习题9.9 116

9.10 向量值函数的导数 117

9.10.1 向量值函数 117

9.10.2 向量值函数的极限和连续性 118

9.10.3 向量值函数的导数 119

习题9.10 120

9.11 偏导数的几何应用 121

9.11.1 空间曲线的切线与法平面 121

9.11.2 曲面的切平面与法线 123

习题9.11 125

总习题9 126

第10章 重积分 128

10.1 二重积分的概念 128

10.1.1 曲顶柱体的体积 128

10.1.2 平面薄片的质量 129

10.1.3 二重积分的定义 130

10.1.4 二重积分的性质 131

习题10.1 133

10.2 二重积分的计算法 135

10.2.1 二重积分的直角坐标计算法 135

10.2.2 二重积分的极坐标计算法 140

10.2.3 二重积分的一般换元法 142

习题10.2 145

10.3 广义二重积分 148

习题10.3 149

10.4 三重积分的概念及计算 150

10.4.1 三重积分的概念 150

10.4.2 三重积分的直角坐标计算法 151

10.4.3 三重积分的柱坐标计算法 154

10.4.4 三重积分的球坐标计算法 156

习题10.4 158

10.5 重积分的应用 161

10.5.1 体积 161

10.5.2 物体的质心 162

10.5.3 转动惯量 164

10.5.4 引力 165

习题10.5 168

总习题10 169

第11章 含参变量积分 171

11.1 含参变量的常义积分 171

习题11.1 175

11.2 含参变量的反常积分 175

11.2.1 含参变量反常积分的一致收敛性 175

11.2.2 含参变量反常积分的性质 180

习题11.2 184

总习题11 184

第12章 第一型曲线积分和曲面积分 186

12.1 第一型曲线积分 186

12.1.1 第一型曲线积分的定义与性质 186

12.1.2 第一型曲线积分的计算 188

习题12.1 191

12.2 第一型曲面积分 192

12.2.1 曲面面积 192

12.2.2 第一型曲面积分的定义和性质 195

12.2.3 第一型曲面积分的计算 195

习题12.2 201

总习题12 202

第13章 第二型曲线积分和曲面积分 203

13.1 第二型曲线积分 203

13.1.1 第二型曲线积分的概念和性质 203

13.1.2 第二型曲线积分的计算 205

13.1.3 两类曲线积分的联系 208

习题13.1 210

13.2 Green公式 211

13.2.1 Green公式 211

13.2.2 Green公式的应用 213

习题13.2 216

13.3 平面曲线积分与路径无关的条件、保守场 217

13.3.1 平面曲线积分与路径无关的条件 217

13.3.2 原函数与全微方程 221

13.3.3 保守场与势函数 224

习题13.3 225

13.4 第二型曲面积分 226

13.4.1 曲面的侧 226

13.4.2 第二型曲面积分的概念 228

13.4.3 第二型曲面积分的计算 230

13.4.4 两类曲面积分的联系 233

习题13.4 235

13.5 Guass公式、通量和散度 236

13.5.1 Guass公式 236

13.5.2 通量和散度 239

习题13.5 243

13.6 Stokes公式、环流量和旋度 244

13.6.1 Stokes公式 244

13.6.2 环流量和旋度 249

习题13.6 250

13.7 Hamilton算子 252

13.7.1 Hamilton算子的运算规则 252

13.7.2 几个基本公式 253

13.7.3 例子 253

习题13.7 255

13.8 向量的外积与外微分形式 255

13.8.1 向量的外积 256

13.8.2 外微分形式及外微分 257

13.8.3 场论基本公式的统一形式 259

习题13.8 261

第三篇 常微分方程 262

第14章 常微分方程 262

14.1 微分方程的基本概念 262

习题14.1 265

14.2 一阶微分方程 266

14.2.1 变量可分离方程 266

14.2.2 齐次微分方程 268

14.2.3 一阶线性微分方程 269

14.2.4 恰当方程 272

14.2.5 一阶方程的初等变换法和积分因子法 273

14.2.6 一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性 279

14.2.7 一阶微分方程的幂级数解法举例 280

习题14.2 281

14.3 二阶微分方程 283

14.3.1 可降阶的二阶微分方程 283

14.3.2 二阶线性微分方程 286

14.3.3 二阶常系数线性微分方程 293

14.3.4 几种特殊的二阶变系数线性微分方程 301

习题14.3 304

14.4 n阶微分方程 306

14.4.1 可降阶的n阶线性微分方程 306

14.4.2 n阶线性微分方程 310

14.4.3 n阶常系数线性方程 311

14.4.4 n阶Euler方程 313

习题14.4 314

总习题14 315

第15章 线性微分方程组 317

15.1 常系数线性微分方程组的初等解法 317

15.2 常系数线性方程组的算子解法 319

15.3 变系数线性方程组解法举例 321

总习题15 322

参考文献 324

习题答案与提示 325