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上篇 向量代数与空间解析几何 1

第1章 向量代数 1

1.1 向量及其线性运算 1

1.1.1 向量概念 1

1.1.2 向量的线性运算 2

1.1.3 空间直角坐标系 6

1.1.4 向量的坐标表示 8

1.1.5 向量的模、方向角 10

习题1.1 12

1.2 数量积、向量积、混合积 13

1.2.1 两向量的数量积 13

1.2.2 两向量的向量积 15

1.2.3 向量的混合积 17

1.2.4 二重向量积 18

习题1.2 20

总习题1 21

第2章 空间解析几何 24

2.1 平面与直线 24

2.1.1 平面方程 24

2.1.2 直线方程 27

习题2.1 29

2.2 关于直线与平面的基本问题 30

2.2.1 距离问题 30

2.2.2 两平面的关系 31

2.2.3 两直线的关系 32

2.2.4 直线与平面的关系 33

2.2.5 平面束方程 34

习题2.2 35

2.3 曲面 37

2.3.1 曲面及其方程 37

2.3.2 球面 38

2.3.3 柱面 38

2.3.4 旋转曲面 39

2.3.5 常见的二次曲面 40

习题2.3 43

2.4 曲线 44

2.4.1 空间曲线及其方程 44

2.4.2 空间曲线的投影柱面和投影曲线 46

习题2.4 46

总习题2 47

下篇 微积分 51

第3章 函数、极限、连续 51

3.1 集合与实数系 51

3.1.1 集合及其运算 51

3.1.2 常用的逻辑符号 54

3.1.3 数集的上确界与下确界 54

习题3.1 56

3.2 映射与函数 58

3.2.1 映射与函数的概念 58

3.2.2 函数的初等性质 60

3.2.3 函数的四则运算 61

3.2.4 复合函数与反函数 62

3.2.5 初等函数 63

习题3.2 66

3.3 数列的极限 69

3.3.1 引例 69

3.3.2 数列极限 70

3.3.3 收敛数列的性质 73

习题3.3 77

3.4 收敛数列的判别定理 79

3.4.1 两边夹准则 79

3.4.2 单调有界准则 79

3.4.3 区间套定理 81

3.4.4 Weierstrass致密性定理 82

3.4.5 Cauchy收敛准则 83

习题3.4 84

3.5 函数的极限 85

3.5.1 函数极限的概念 85

3.5.2 函数极限的性质 89

习题3.5 92

3.6 两个重要极限与函数极限的存在准则 94

3.6.1 两个重要极限 94

3.6.2 函数极限的存在准则 97

习题3.6 99

3.7 无穷小和无穷大 100

3.7.1 无穷小及其运算 100

3.7.2 无穷大 102

3.7.3 无穷小的比较 103

3.7.4 曲线的渐近线 107

习题3.7 108

3.8 函数的连续性 110

3.8.1 连续与间断 110

3.8.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续性 113

3.8.3 闭区间上连续函数的性质 115

3.8.4 函数的一致连续性 118

习题3.8 120

总习题3 122

第4章 导数与微分 127

4.1 导数概念 127

4.1.1 切线问题与速度问题 127

4.1.2 导数的定义 129

4.1.3 导数的几何意义 132

4.1.4 函数可导性与连续性的关系 133

4.1.5 单侧导数 134

习题4.1 135

4.2 求导法则与导数基本公式 137

4.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 138

4.2.2 复合函数的求导法则 139

4.2.3 反函数的求导法则 141

4.2.4 高阶导数 143

习题4.2 148

4.3 隐函数与参数式函数的求导法则 151

4.3.1 隐函数求导法则 151

4.3.2 由参数方程确定的函数的求导法则 154

4.3.3 极坐标式求导 157

4.3.4 相关变化率问题 158

习题4.3 160

4.4 微分 162

4.4.1 微分的概念 162

4.4.2 一阶微分形式的不变性 164

4.4.3 微分的运算法则 164

4.4.4 高阶微分 166

4.4.5 微分在近似计算中的应用 167

习题4.4 169

总习题4 170

第5章 微分中值定理与导数的应用 174

5.1 微分中值定理 174

5.1.1 极值概念与Fermat定理 174

5.1.2 Rolle定理 175

5.1.3 Lagrange中值定理 177

5.1.4 Cauchy中值定理 179

习题5.1 181

5.2 L’Hospital法则 183

5.2.1 0/0与∞/∞型未定式 183

5.2.2 其他类型未定式 186

习题5.2 189

5.3 Taylor公式 190

5.3.1 Taylor公式 190

5.3.2 几个基本初等函数的Maclaurin公式 194

5.3.3 Taylor公式的应用 198

习题5.3 201

5.4 函数形态的研究 202

5.4.1 函数的单调性 202

5.4.2 函数极值的判定 204

5.4.3 函数的凹凸性 206

5.4.4 函数作图 208

5.4.5 平面曲线的曲率 211

习题5.4 214

5.5 函数的最大（小）值及其应用 216

习题5.5 218

5.6 求函数零点的Newton迭代法 220

习题5.6 221

总习题5 221

第6章 一元函数的不定积分 226

6.1 不定积分的概念与性质 226

6.1.1 原函数与不定积分的概念 226

6.1.2 基本积分表 228

6.1.3 不定积分的性质 229

习题6.1 230

6.2 换元积分法和分部积分法 231

6.2.1 第一换元法 231

6.2.2 第二换元法 236

6.2.3 分部积分法 240

习题6.2 243

6.3 几类初等函数的积分 245

6.3.1 有理函数的积分 245

6.3.2 三角函数有理式的积分 248

6.3.3 某些含根式的函数的积分 250

习题6.3 252

总习题6 253

第7章 一元函数定积分 255

7.1 定积分的概念 255

7.1.1 面积问题与路程问题 255

7.1.2 定积分的定义 258

7.1.3 用定义计算定积分 260

习题7.1 262

7.2 函数可积准则 263

7.2.1 可积函数的判别定理 263

7.2.2 可积函数类 266

习题7.2 268

7.3 定积分的性质 269

习题7.3 274

7.4 微积分基本公式 275

7.4.1 问题的提出 275

7.4.2 积分上限函数及其性质 276

7.4.3 Newton-Leibniz公式 279

习题7.4 281

7.5 定积分的计算 283

7.5.1 定积分的换元法 283

7.5.2 定积分的分部积分法 286

7.5.3 定积分计算和证明的若干方法 288

习题7.5 296

7.6 反常积分 299

7.6.1 无穷区间的反常积分 299

7.6.2 无界函数的反常积分 302

7.6.3 收敛判别法 306

7.6.4 Γ函数与B函数 311

习题7.6 314

7.7 定积分的应用 316

7.7.1 微元法 317

7.7.2 定积分在几何中的应用举例 318

7.7.3 定积分在物理中的应用举例 329

习题7.7 335

7.8 定积分的近似计算 339

7.8.1 矩形法 339

7.8.2 梯形法 340

7.8.3 抛物线法 341

习题7.8 343

总习题7 343

附录Ⅰ 积分表 350

附录Ⅱ 几种常用的二次曲线 360

参考文献 364

习题答案与提示 365