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第八章 空间解析几何与向量代数 1

8.1 向量代数 1

一、向量的概念 1

二、向量的线性运算 2

三、空间直角坐标系 5

四、利用坐标做向量的线性运算 6

五、向量的模、方向角与方向余弦 7

习题8.1 9

8.2 数量积 向量积 混合积 10

一、两向量的数量积 10

二、两向量的向量积 12

三、向量的混合积 13

习题8.2 14

8.3 空间曲面及其方程 15

一、曲面方程的概念 15

二、旋转曲面 16

三、柱面 18

四、锥面 19

五、二次曲面 19

习题8.3 21

8.4 空间曲线及其方程 22

一、空间曲线的一般方程 22

二、空间曲线的参数方程 23

三、空间曲线在坐标面上的投影 24

四、空间曲面的参数方程 25

习题8.4 26

8.5 平面及其方程 26

一、平面的点法式方程 27

二、平面的一般方程 27

三、两平面的夹角 29

四、点到平面的距离 29

习题8.5 30

8.6 空间直线及其方程 31

一、空间直线的一般方程 31

二、空间直线的对称式方程与参数方程 31

三、两直线的夹角 32

四、直线与平面的夹角 33

习题8.6 34

8.7 综合例题 34

第九章 多元函数微分学 39

9.1 多元函数的基本概念 39

一、平面点集 39

二、多元函数的概念 42

三、多元函数的极限 43

四、多元函数的连续性 44

习题9.1 47

9.2 偏导数 48

一、偏导数的概念及计算方法 48

二、高阶偏导数 50

习题9.2 52

9.3 全微分 53

一、全微分的概念 53

二、全微分在近似计算中的应用 55

习题9.3 56

9.4 多元复合函数的求导法则 57

一、多元复合函数的求导法则 57

二、全微分形式不变性 61

习题9.4 62

9.5 隐函数的求导公式 63

一、一个方程的情形 63

二、方程组的情形 65

习题9.5 69

9.6 多元函数微分学的几何应用 70

一、空间曲线的切线与法平面 70

二、曲面的切平面与法线 73

习题9.6 76

9.7 方向导数与梯度 76

一、方向导数 76

二、梯度 78

三、向量值函数 81

习题9.7 83

9.8 多元函数的极值 84

一、极值及最大值、最小值 84

二、条件极值的拉格朗日乘数法 87

习题9.8 91

9.9 综合例题 92

第十章 重积分 97

10.1 重积分的概念与性质 97

一、重积分的概念 97

二、重积分的性质 101

习题10.1 104

10.2 二重积分的计算 105

一、直角坐标系下二重积分的计算 105

二、极坐标系下二重积分的计算 111

习题10.2 115

10.3 三重积分的计算 116

一、利用直角坐标计算三重积分 116

二、利用柱面坐标计算三重积分 120

三、利用球面坐标计算三重积分 122

习题10.3 126

10.4 重积分的换元法 127

习题10.4 132

10.5 重积分的应用 133

一、曲面面积 133

二、质心 135

三、转动惯量 136

四、引力 138

习题10.5 139

10.6 综合例题 140

一、重积分的计算 140

二、重积分的证明 141

三、重积分的应用 142

第十一章 曲线积分与曲面积分 145

11.1 第一类曲线积分 145

一、第一类曲线积分的概念与性质 145

二、第一类曲线积分的计算 148

习题11.1 151

11.2 第二类曲线积分 152

一、第二类曲线积分的概念与性质 152

二、第二类曲线积分的计算 154

三、两类曲线积分的关系 157

习题11.2 158

11.3 格林公式 曲线积分与路径无关的条件 159

一、格林公式 159

二、曲线积分与路径无关的条件 163

三、全微分方程 167

习题11.3 167

11.4 第一类曲面积分 168

一、第一类曲面积分的概念与性质 168

二、第一类曲面积分的计算 170

习题11.4 173

11.5 第二类曲面积分 173

一、第二类曲面积分的概念与性质 174

二、第二类曲面积分的计算 176

三、两类曲面积分的关系 179

习题11.5 181

11.6 高斯公式与散度 182

一、高斯公式 182

二、通量与散度 184

习题11.6 186

11.7 斯托克斯公式与旋度 187

一、斯托克斯公式 187

二、环量与旋度 189

习题11.7 191

11.8 综合例题 191

一、关于第一类曲线积分的计算 191

二、关于曲线积分与路径无关的问题 192

三、关于曲面积分对称性的问题 194

四、关于空间曲线积分的计算 195

五、关于曲面积分的计算与证明 196

第十二章 无穷级数 200

12.1 常数项级数的概念与性质 200

一、常数项级数的概念 200

二、无穷级数的性质 202

习题12.1 205

12.2 常数项级数的审敛法 205

一、正项级数的审敛法 205

二、交错级数 212

三、任意项级数 214

习题12.2 216

12.3 幂级数 217

一、函数项级数的基本概念 217

二、幂级数及其收敛域 218

三、幂级数的运算与性质 223

习题12.3 226

12.4 函数的幂级数展开 227

一、泰勒级数 227

二、函数展开为幂级数 229

三、函数幂级数展开式的应用 234

习题12.4 235

12.5 傅里叶级数 236

一、三角级数与三角函数系的正交性 236

二、函数展开为傅里叶级数 238

三、正弦级数与余弦级数 242

习题12.5 245

12.6 一般周期函数的傅里叶级数 246

一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 246

习题12.6 249

12.7 综合例题 249

一、数项级数的收敛性 249

二、求数项级数的和 251

三、幂级数的收敛域 253

四、幂级数和函数的计算 255

五、函数的幂级数展开 256

六、傅里叶级数 258

习题参考答案与提示 260