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第一章 绪论和预备知识 1

绪论 1

1.1 计算机计算的特点 9

1.2 函数离散化和曲线拟合 12

一、多项式插值 12

二、曲线拟合（实验数据拟合） 21

1.3 数值积分 24

一、Newton-Cotes型积分公式 24

二、高斯（Gauss）型积分公式 29

附录Ⅰ 线性方程组的追赶法求解 32

附录Ⅱ 三次δ样条插值 33

第二章 物理问题的数值计算与分析（Ⅰ）——常微分方程的数值解 36

2.1 引言——数值解的必要性 36

2.2 常微分方程初值问题的数值解法 39

一、Euler折线法 39

二、Runge-Kutta（龙格—库塔）法 44

三、Adams（阿达姆斯）方法 45

四、高阶微分方程和一阶微分方程组的求解 47

2.3 二阶常微分方程的数值解·原子结构的计算 48

一、Numerov方法 49

二、原子结构的计算——径向薛定谔方程数值解 51

2.4 常微分方程边值问题的差分法求解 63

一、差分和差商 63

二、微分方程差分化 64

三、常微分方程的本征值问题 66

附录Ⅰ 分子轨道计算 70

Ⅰ.1引言 70

Ⅰ.2Roothaan方程和从头计算 72

Ⅰ.3几种常用的近似方法 79

Ⅰ.4多重散射Xα方法 84

Ⅰ.5关于固体电子结构计算 89

第三章 物理问题的数值计算与分析（Ⅱ）——偏微分方程的数值解 92

3.1 引言 92

一、偏微分方程的求解概述 92

二、电磁场计算中的微分方程 94

3.2 有限差分法 99

一、差分格式的稳定性 100

二、弦振动（双曲型）方程的差分格式与稳定性 103

三、热传导（抛物型）方程的差分格式与稳定性 108

四、椭圆型方程的差分格式 109

五、其他物理问题差分格式举例 123

3.3 变分法 126

一、Ritz方法 127

二、迦辽金（Гаёркцн）方法 130

3.4 有限元素法 132

一、常微分方程边值问题的有限元方法 133

二、椭圆型偏微分方程边值问题的有限元方法 134

三、有限元方程的求解 148

四、磁场中存在铁磁物质时的有限元法计算 148

五、时变电磁场的有限元素法 152

六、有限差分法与有限元素法的比较 154

附录Ⅰ 矩阵的一维表示及高斯消去法有限元素法中矩阵作一维表示的总本合成 155

一、矩阵的一维表示及一维表示下的消去法 155

二、矩阵作一维表示的总体合成 158

第四章 物理问题常用算法之一——快速傅里叶变换 161

4.1 引言 161

4.2 傅里叶正变换和逆变换 163

4.3 卷积和相关 168

4.4 离散傅里叶变换 170

4.5 快速傅里叶变换 179

4.6 快速傅里叶变换应用举例之一——广延X射线吸收精细结构的数据处理 183

一、EXAFS实验现象与基本理论 184

二、EXAFS的数据处理 188

4.7 快速傅里叶变换应用举例之二——X光电子能谱的实验数据处理 205

一、引言 205

二、噪声和背景的扣除 206

三、谱的退卷积处理 210

第五章 物理问题常用算法之二——最优化方法 215

5.1 引言 215

5.2 无约束最优化问题求解 218

一、最优化问题基础和基本解法 218

二、一维搜索（Linear Search） 222

三、求解无约束最优化问题的解析法——非直接搜索法 233

四、求解无约束最优化问题的直接搜索法 245

5.3 有约束最优化问题求解 249

一、惩罚函数法 249

二、复合形法（Complex Method） 250

5.4 遗传算法——全局优化算法 254

一、遗传算法的基本原理 255

二、遗传算法操作步骤 256

5.5 遗传算法应用举例——离轴电子全息图的全局最优化数值重现 260

一、电子全息概述 260

二、电子全息图的记录 262

三、电子全息图的数值重现 265

5.6 实验数据优化方法处理应用举例——俄歇电子能谱的实验数据处理 270

一、引言 270

二、俄歇电子谱的退自卷积 272

第六章 物理研究中确定论模拟方法——分子动力学方法（MD） 276

6.1 引言 276

6.2 分子动力学模拟的基本步骤 280

6.3 平衡态分子动力学模拟 287

一、微正则系综的分子动力学模拟 288

二、正则系综的分子动力学模拟 290

6.4 从头计算的分子动力学模拟概要 293

6.5 分子动力学模拟应用举例——MoS2基板上外延生长C60薄膜的MD模拟 297

附录Ⅰ 时间步长h选取对模拟计算的影响 304

附录Ⅱ 能量均分和费米—帕斯塔—乌拉姆（Fermi—Pasta—Ulam，FPU）问题 306

第七章 物理问题的随机模拟方法——蒙特卡罗方法（MC） 309

7.1 概论 309

一、引言 309

二、蒙特卡罗方法数学基础 313

三、蒙特卡罗方法的基本思想和基本步骤 317

四、拉普拉斯方程的蒙特卡罗方法求解——醉汉问题 320

五、蒙特卡罗方法的特点 323

7.2 随机数和随机抽样 323

一、产生均匀分布的随机数的方法 325

二、产生具有给定分布的随机变量——随机抽样 329

7.3 蒙特卡罗方法在确定性问题中的应用 339

一、应用蒙特卡罗方法计算积分 340

二、求解非线性方程组的随机搜索法 347

7.4 蒙特卡罗方法在随机性问题中的应用 349

一、随机游动问题 349

二、随机生长过程模拟 352

三、中子输运过程模拟 354

四、电子与固体相互作用的蒙特卡罗模拟 358

7.5 量子蒙特卡罗方法 369

一、变分蒙特卡罗方法（VMC） 369

二、格林函数蒙特卡罗方法（GFMC） 371

三、路径积分蒙特卡罗方法（PIMC） 374

四、量子蒙特卡罗方法的应用 375

7.6 MC在统计物理与格点规范理论中的应用 376

一、计算平衡态平均值的基本方法 376

二、蒙特卡罗方法在格点规范理论中的应用 380

第八章 辛算法基础与应用举例——薛定谔方程的辛算法 384

前言 384

8.1 辛结构与Hamilton系统的辛算法 386

一、辛结构与Hamilton力学 386

二、Hamilton系统的辛格式 393

8.2 定态Schrodinger方程的辛形式与辛算法 400

一、一维定态Schrodinger方程的辛形式 401

二、一维定态Schrodinger方程的辛-打靶法 402

三、一维连续态的保Wronskian算法 406

8.3 含时Schrodinger方程的辛算法与应用 409

一、量子系统是一个无穷维Hamilton系统 410

二、基于完备基展开的辛算法 411

三、含时Schrodinger方程的辛离散——空间变量离散法 419

四、强激光场中的一维模型原子——基于渐近边界条件的辛算法 425