数学与猜想 第1卷 数学中的归纳和类比PDF电子书下载

译者的话 1

第一章 归纳方法 1

引言 1

1. 经验和信念 1

2. 启发性联想 2

3. 支持性联想 4

序言 4

4. 归纳的态度 6

第一章的例题和注释，1～14。［12.是与非、13.经验与行为、14.逻辑学家、数学家、物理学家和工程师.］ 7

对读者的提示 11

第二章 一般化、特殊化、类比 11

1. 一般化、特殊化、类比和归纳 11

2. 一般化 11

3. 特殊化 12

4. 类比 12

5. 一般化、特殊化和类比 15

6. 由类比作出的发现 17

7. 类比和归纳 21

第二章的例题和注释，1～46；［第一部分，1～20；第二部分，21～46］.［1.正确的推广.5.一个极端的特殊情形.7. 起主导作用的特殊情形.10.有代表性的特殊情形.11. 可类比的情形.18.伟大的类比.19.明确的类比.20.几位数学家的名句摘录.21.猜想E.44.对猜想的一个 23

第三章 立体几何中的归纳推理 36

1. 多面体 36

2. 支持猜想的第一批事实 39

3. 支持猜想的更多事实 40

4. 一次严格的检验 41

5. 验证再验证 43

6. 一种很不同的情形 44

7. 类比 44

8. 空间的分割 46

9. 修改一下问题的提法 47

10. 一般化、特殊化、类比 47

11. 一个类似的问题 48

12. 类似问题的一张表格 49

13. 解决一大批问题有时比解决单独一个问题更容易 50

14. 一个猜想 51

15. 预言与证明 52

16. 再来一次，使它更好 53

17. 归纳法引向演绎法；特例引向一般证明 53

18. 更多的猜想 55

第三章的例题和注释，1～41.［21.归纳过程：思想的适应，语言的适应.31.笛卡儿对多面体的研究工作.36.立体补角，互补球面多边形.］ 56

第四章 数论中的归纳方法 64

1. 边长为整数的直角三角形 64

2. 平方和 67

3. 关于四奇数平方和问题 68

4. 考察一个例子 69

5. 把观察结果列成表 70

6. 有什么规则 70

8. 关于归纳证据的性质 74

7. 关于归纳发现未知事物的性质 74

第四章的例题和注释，1～26.［1.符号表示法.26.归纳法的危险.］ 77

第五章 归纳法杂例 83

1. 函数的展开式 83

2. 近似式 85

3. 极限 87

4. 设法推翻它 88

5. 设法证明它 89

第五章的例题和注释，1～18.［15.解释观察到的规律性.16.把观察到的事实进行分类.18.差别是什么？］ 92

6. 归纳阶段的作用 92

第六章 更一般性的陈述 99

1. 欧拉 99

2. 欧拉的研究报告 99

3. 从实践到抽象的一般观点 108

4. 欧拉研究报告的概述 109

第六章的例题和注释，1～25.［1.母函数.7.平面几何的一个组合问题.10平方和.19.另一个递推公式.20.整数因子和的另一个奇特规律.24欧拉是怎样遗漏一个发现.25.欧拉定理关于σ(n)的一种推广.］ 110

第七章 数学归纳法 118

1. 归纳阶段 118

2. 论证阶段 120

3. 研究的飞跃 121

4. 数学归纳法的技巧 122

第七章的例题和注释，1～18.［12.多证可能反而更省事.14.权衡你的定理.15.展望.17.任何n个数都相等吗？］ 127

第八章 极大和极小 133

1. 模式 133

2. 例子 134

3. 相切的等高线模式 136

4. 两个例子 138

5. 局部变动的模式 141

6. 算术平均与几何平均的定理及其初步推论 143