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第1章 准备实验 1

实验1.1 进入高等数学实验室 2

实验目的 2

实验指导 2

一、什么是数学实验 2

二、数学实验实例--调和数列研究 3

三、怎样做高等数学实验 7

实验工具 8

实验任务 11

实验1.2 变量与函数 13

实验目的 13

实验工具 13

一、Methematica中的数据类型 13

二、系统中的数学常数(Constants) 14

三、函数与变量的命名规则 15

四、变量赋值与变量替换 16

五、四则运算(Basic Arithmetic) 17

六、初等函数(Elementary Functions) 18

七、自定义函数 19

实验指导 21

一、自然对数 21

二、连续利率与e 24

实验任务 26

实验1.3 分段函数 28

实验目的 28

实验工具 28

一、Mathematica的常用函数 28

二、用递归方法定义函数 29

三、定义分段函数 30

实验指导 32

个人所得税的纳税问题 32

实验任务 36

实验1.4 一元函数的图形 37

实验目的 37

实验工具 37

一、介绍Plot函数 37

二、使用选择项对图形进行修饰 39

三、Show函数 43

四、ParametricPlot函数 44

五、ListPlot函数 46

六、图形动画的设计 49

实验指导 49

实验任务 54

实验1.5 二元函数的图形 56

实验目的 56

实验工具 56

一、空间曲面的显函数作图：Plot3D 56

二、使用选择项对图形进行修饰 57

三、使用Show函数拼合多张曲面 61

四、空间曲面的参数作图：ParametricPlot3D 62

五、绘制空间曲面的等高线图：ContourPlot 64

六、画空间曲面的密度图：DensityPlot 67

七、根据数据表画空间曲面的图形 68

实验任务 69

实验1.6 表的使用方法 71

实验目的 71

实验工具 71

实验任务 81

实验目的 83

实验工具 83

实验1.7 多项式、有理式及方程求解 83

实验指导 89

一、提出问题 89

二、分析与求解 89

三、问题2：轨道方程的标准化 91

四、将行星轨道方程标准化 91

五、实验结论 93

实验任务 94

实验工具 95

一、过程与模块结构 95

实验目的 95

实验1.8 过程设计 95

二、循环结构 96

三、分支结构 98

实验指导 100

用二分法求方程的根 100

实验任务 102

第2章 计算实验 103

实验2.1 极限与导数的计算 104

实验目的 104

实验工具 104

一、极限的计算 104

二、导数与微分的计算 105

三、一元函数的极值 109

实验任务 110

实验工具 113

实验目的 113

实验2.2 泰勒展开式的计算 113

实验指导 114

实验任务 118

实验2.3 积分的计算 120

实验目的 120

实验工具 120

实验任务 124

实验2.4 向量的运算 126

实验目的 126

实验工具 126

实验任务 130

实验2.5 解常微分方程 132

实验目的 132

实验工具 132

实验任务 136

实验2.6 偏导数与全微分 137

实验目的 137

实验工具 137

实验任务 142

实验2.7 多元函数的极值 144

实验目的 144

实验指导 144

一、多元函数的自由极值 144

二、条件极值与拉格朗日乘数法 147

三、二元函数在区域D内的最大值和最小值 149

实验任务 152

第3章 体验实验 153

一、什么是“几何变换”？ 154

实验指导 154

实验目的 154

实验3.1 平面上的几何变换 154

二、函数图象的平移变换(位置参数的影响) 155

三、函数图象的伸缩(刻度参数的影响) 156

四、函数图象的旋转 157

五、函数的对称规律 158

六、几何变换的矩阵表示 161

实验任务 163

实验3.2 收敛速度与无穷小的阶 165

实验目的 165

实验指导 165

实验任务 168

实验指导 171

一、问题的提出 171

实验目的 171

实验3.3 机翼轮廓线的加工 171

二、解决方案1：多项式插值 172

三、分段低次插值 176

四、三次样条插值 177

实验任务 178

实验3.4 数控机床的刀具补偿 180

实验目的 180

实验指导 180

一、实际问题：刀具补偿的估计 180

二、最小二乘法的原理 182

三、Fit函数 183

四、曲线拟合 183

实验任务 186

实验目的 188

实验指导 188

一、迭代式与不动点 188

实验3.5 迭代式与不动点 188

二、如何进行迭代？ 189

三、利用迭代法计算方程的根 192

四、迭代过程的图解 193

五、压缩映像原理 194

六、不动点迭代的收敛阶 196

实验任务 197

实验指导 199

一、牛顿迭代法原理 199

实验目的 199

实验3.6 牛顿迭代法 199

二、牛顿迭代法的几何解释 200

三、牛顿迭代法的收敛性 201

四、迭代过程的加速 202

实验任务 204

实验3.7 卫星轨道的长度 206

实验目的 206

实验指导 206

一、实际背景 206

二、数值积分原理 207

三、数值积分的误差估计 208

四、用高斯算术几何平均数列逼近椭圆积分 209

实验任务 210

实验指导 214

一、越野赛问题 214

实验目的 214

实验3.8 越野赛问题及其它 214

二、分析最佳进路线 215

三、光线的折射与反射 216

四、椭圆形办公室的声学特性 217

实验任务 220

第4章 应用实验 221

实验4.1 计算机模拟 222

实验目的 222

实验指导 222

一、问题1：盐水浓度问题 222

二、问题2：四人追逐问题 225

三、问题3：随机游动 227

四、问题4：蒙特卡罗方法 228

实验任务 229

实验4.2 日常生活中的经济问题 231

实验目的 231

实验指导 231

一、实验问题 231

二、一阶线性差分方程 233

三、回到实际问题 236

实验任务 238

实验4.3 Fibonacci数列 240

实验目的 240

实验指导 240

一、Fibonacci数列 240

二、Fibonacci数列的通项公式 243

三、生成函数 245

四、黄金分割比 247

实验任务 249

实验目的 251

实验指导 251

一、超音速飞机的声音传播规律 251

实验4.4 超音速飞机与“马赫锥” 251

二、平面曲线族的包络线 253

实验任务 254

实验4.5 分叉与混沌 258

实验目的 258

实验指导 258

一、逻辑斯谛方程 258

二、逻辑斯谛方程的迭代 261

三、Feigenbaum图 267

实验任务 268

实验指导 270

一、割圆术 270

实验目的 270

实验4.6 π的近似计算 270

二、韦达(VieTa)公式 272

三、利用级数计算π 274

四、拉马努金(Ramanujan)公式 278

五、迭代方法 279

实验任务 281

实验4.7 万有引力的发现 283

实验目的 283

实验指导 283

一、历史背景 283

二、极坐标下质点的运动分析 283

三、万有引力定律的推导 285

实验任务 288