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第1章 数学物理方程的定解问题 1

1.1 基本概念 1

1.1.1 偏微分方程的相关概念 1

1.1.2 数学物理方程的一般性问题 2

1.2 数学物理方程的导出 3

1.2.1 波动方程的导出 4

1.2.2 输运方程的导出 9

1.2.3 稳定场方程：拉普拉斯方程与泊松方程 12

1.3 定解条件 13

1.3.1 初始条件 13

1.3.2 边界条件 14

1.3.3 衔接条件 15

习题 18

第2章 行波法与积分变换法 19

2.1 达朗贝尔法（行波法） 19

2.2 反射波 21

2.3 纯强迫振动 24

2.4 积分变换法——傅里叶变换法 27

2.4.1 三角函数系的正交性 27

2.4.2 傅里叶（Fourier）级数 28

2.4.3 傅里叶（Fourier）变换 30

2.4.4 应用 37

2.5 拉普拉斯变换 38

2.5.1 拉普拉斯变换的概念 38

2.5.2 拉普拉斯变换的存在定理 40

2.5.3 拉普拉斯变换的性质 41

2.5.4 拉普拉斯逆变换 47

2.5.5 拉普拉斯变换的应用 51

习题 57

第3章 分离变量法 60

3.1 双齐次问题 60

3.1.1 有界弦振动方程定解问题 60

3.1.2 均匀细杆的热传导方程定解问题 65

3.1.3 稳定场分布 69

3.2 非齐次方程的求解 73

3.2.1 本征函数展开法 73

3.2.2 冲量原理法 76

3.3 非齐次边界条件的处理 78

3.4 正交曲线坐标系下的分离变量法 83

3.4.1 正交曲线坐标系的坐标变化关系 83

3.4.2 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 85

3.4.3 球坐标系的分离变量法 88

3.4.4 柱坐标系的分离变量法 90

3.5 施图姆-刘维尔（Sturn-Liouville，S-L）问题 92

3.5.1 施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题 92

3.5.2 施图姆-刘维尔本征值问题的共同性质 93

习题 94

第4章 特殊函数 96

4.1 二阶线性常微分方程的级数解 96

4.1.1 常点邻域内的幂级数解法 96

4.1.2 正则点邻域内的幂级数解法 100

4.2 勒让德多项式 107

4.2.1 勒让德方程及勒让德多项式 107

4.2.2 勒让德多项式的生成函数和递推公式 109

4.2.3 勒让德多项式的微分表示形式 111

4.2.4 勒让德方程特征值问题 113

4.2.5 连带的勒让德方程和连带的勒让德函数 115

4.2.6 勒让德函数在数理方程中的应用 116

4.3 球函数 118

4.3.1 球函数 118

4.3.2 复数形式的球函数 119

4.3.3 球函数的正交性 119

4.3.4 球面上的函数的广义傅里叶级数 119

4.3.5 球函数在数理方程中的应用 121

4.4 贝塞尔（Bessel）函数 123

4.4.1 Bessel方程和Bessel函数 123

4.4.2 Bessel函数的性质 125

4.4.3 Bessel方程的特征值问题 127

4.4.4 Bessel函数在数理方程中的应用 131

习题 137

第5章 量子力学基础 140

5.1 经典物理学的困难 140

5.1.1 几个代表性的实验 140

5.2 光的波粒二象性及统计解释 145

5.3 原子结构的玻尔理论 147

5.4 微粒的波粒二象性 149

习题 151

第6章 薛定谔方程和波函数 152

6.1 薛定谔方程的建立 152

6.2 薛定谔方程的解——波函数的性质 155

6.3 一维定态的薛定谔方程 158

6.3.1 一维无限深方势阱中的粒子 158

6.3.2 一维有限深方势阱中的粒子 163

6.3.3 一维势垒 165

6.4 线性谐振子 171

6.5 氢原子 177

习题 187

第7章 量子力学中的数学表示 188

7.1 表示力学量的算符 188

7.2 动量算符和角动量算符 191

7.3 厄米算符的本征值与本征函数 195

7.4 算符与力学量的关系 198

7.5 两力学量同时有确定值的条件及测不准关系 200

7.6 力学量随时间的演化 202

7.7 量子力学的矩阵形式 204

7.7.1 量子态的不同表象 204

7.7.2 力学量算符的矩阵表示 208

7.7.3 量子力学公式的矩阵表示 212

习题 214

第8章 量子力学的近似方法 216

8.1 非简并定态微扰理论 216

8.2 简并态微扰理论 221

8.3 含时微扰论 223

8.4 微扰引起的跃迁概率 225

习题 235

第9章 自旋与全同粒子 236

9.1 电子自旋存在的实验事实 236

9.2 电子自旋态与自旋算符 238

9.3 全同粒子体系与波函数的交换对换性 243

9.4 两个全同粒子组成的体系 245

9.5 N个全同粒子组成的体系 246

习题 247

第10章 经典统计力学基础 249

10.1 数学准备 249

10.2 统计系统及分类 253

10.3 系统微观运动状态的经典描述 254

10.4 统计力学的基本假设 258

10.5 玻耳兹曼（Boltzmann）分布 261

10.6 理想气体的物态方程 265

10.7 能量均分定理 265

习题 269

第11章 量子统计力学基础 270

11.1 粒子运动状态的量子描述 270

11.2 玻色分布和费米分布 276

11.3 玻色统计分布和费米统计分布热力学量的统计表达式 277

11.4 弱简并的理想玻色气体和费米气体 280

11.5 光子气体 281

11.6 顺磁固体的微观理论 284

习题 287

参考文献 289

习题答案 290

附录 299