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第七章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 空间直角坐标系 1

一、空间中点的坐标 1

二、空间中两点间的距离 3

习题7－1 4

第二节 向量及其线性运算 5

一、向量的概念 5

二、向量的线性运算 6

习题7－2 9

第三节 利用坐标作向量的代数运算 9

一、向量在数轴上的投影 9

二、向量的坐标 12

三、向量的模与方向余弦 13

习题7 －3 15

第四节 数量积 向量积 混合积 16

一、两向量的数量积 16

二、两向量的向量积 19

三、向量的混合积 22

习题7－4 25

第五节 平面及其方程 26

一、平面的点法式方程 26

二、平面的一般方程 27

三、平面的截距式方程 28

四、两平面的夹角 29

五、点到平面的距离 31

习题7 －5 32

第六节 空间直线及其方程 33

一、空间直线的一般方程 33

二、空间直线的对称式方程与参数方程 33

三、两直线的夹角 36

四、直线与平面的夹角 37

五、直线与平面的交点 38

六、平面束 39

七、杂例 40

习题7－6 42

第七节 曲面及其方程 43

一、曲面方程的概念 43

二、球面 44

三、柱面 45

四、旋转曲面 46

习题7－7 48

第八节 空间曲线及其方程 48

一、空间曲线的一般方程 48

二、空间曲线的参数方程 50

三、空间曲线在坐标面上的投影 51

习题7 －8 53

第九节 二次曲面 53

一、椭球面 54

二、单叶双曲面 55

三、双叶双曲面 57

四、椭圆抛物面 58

五、双曲抛物面 59

六、空间区域简图 61

习题7－9 62

第八章 多元函数微分法及其应用 63

第一节 多元函数的基本概念 63

一、平面点集 63

二、多元函数概念 65

三、二元函数的极限 68

四、多元函数的连续性 70

习题8－1 72

第二节 偏导数 73

一、偏导数的定义及计算法 73

二、偏导数的几何意义 76

三、高阶偏导数 76

习题8－2 78

第三节 全微分及其应用 79

一、全微分的定义 79

二、全微分在近似计算中的应用 82

习题8 －3 84

第四节 多元复合函数的求导法则 85

一、复合函数的微分法则 85

二、全微分形式的不变性 89

习题8－4 90

第五节 隐函数的求导公式 91

一、由一个方程所确定的隐函数的情形 91

二、由方程组所确定的隐函数的情形 94

习题8－5 96

第六节 偏导数的几何应用 97

一、空间曲线的切线与法平面 97

二、曲面的切平面与法线 101

习题8－6 103

第七节 方向导数与梯度 104

一、方向导数 104

二、梯度 106

习题8 －7 110

第八节 二元函数的泰勒公式 110

习题8 －8 113

第九节 多元函数的极值及其求法 113

一、多元函数的极值及最大值、最小值 113

二、条件极值 拉格朗日乘数法 119

习题8 －9 123

第九章 重积分 124

第一节 二重积分的概念与性质 124

一、二重积分的概念 124

二、二重积分的性质 128

习题9－1 130

第二节 二重积分的计算法 131

一、利用直角坐标计算二重积分 131

二、利用极坐标计算二重积分 138

三、二重积分的换元法 143

习题9－2 145

第三节 三重积分的概念及其计算法 148

一、三重积分的概念 148

二、用直角坐标计算三重积分 150

三、用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 153

习题9 －3 157

第四节 重积分的应用 159

一、计算曲面的面积 159

二、重积分在静力学的应用 162

习题9－4 165

第五节 含参变量的积分 166

习题9 －5 170

第十章 曲线积分与曲面积分 171

第一节 对弧长的曲线积分 171

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 171

二、对弧长的曲线积分的计算法 173

习题10－1 177

第二节 对坐标的曲线积分 178

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 178

二、对坐标的曲线积分的计算法 181

三、两类曲线积分之间的联系 185

习题10－2 186

第三节 格林公式及其应用 188

一、格林公式 188

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 191

三、二元函数的全微分求积 194

习题10 －3 197

第四节 对面积的曲面积分 198

一、对面积的曲面积分的概念 198

二、对面积的曲面积分的计算法 199

习题10－4 202

第五节 对坐标的曲面积分 202

一、对坐标的曲面积分的概念 202

二、对坐标的曲面积分的计算方法 206

习题10－5 209

第六节 高斯公式 通量与散度 210

一、高斯公式 210

二、通量与散度 213

习题10－6 215

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 216

一、斯托克斯公式 216

二、环流量与旋度 217

三、向量微分算子 218

习题10－7 219

第十一章 无穷级数 221

第一节 数项级数的概念和性质 221

一、数项级数的概念 221

二、收敛级数的基本性质 224

三、级数收敛的必要条件 225

习题11－1 226

第二节 正项级数的审敛法 227

习题11－2 234

第三节 任意项级数的审敛法 235

一、交错级数及其审敛法 235

二、绝对收敛与条件收敛 236

习题11－3 238

第四节 广义积分的审敛法 Г函数 238

一、广义积分的审敛法 238

二、Г函数 243

习题11－4 244

第五节 幂级数 245

一、函数项级数的一般概念 245

二、幂级数及其收敛性 246

三、幂级数的运算及和函数的性质 252

四、函数项级数的一致收敛性 255

习题11－5 259

第六节 函数展开成幂级数 260

一、泰勒（Taylor）公式 260

二、泰勒（Taylor）级数 261

三、函数展开成幂级数 263

习题11－6 267

第七节 函数的幂级数展开式的应用 267

一、近似计算 267

二、欧拉公式 271

习题11 －7 273

第八节 傅里叶级数 273

一、三角函数系的正交性 274

二、函数展开成傅里叶级数 275

习题11 －8 280

第九节 正弦级数和余弦级数 281

一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 281

二、函数展开成正弦级数或余弦级数 282

习题11 －9 284

第十节以2l为周期的函数的傅里叶级数 284

习题11－10 288

第十一节 傅里叶级数的复数形式 289

习题11－11 291

第十二章 常微分方程 292

第一节 微分方程的基本概念 292

一、引例 292

二、基本概念 294

习题12－1 297

第二节 可分离变量方程与齐次方程 298

一、可分离变量方程 298

二、齐次方程 300

习题12－2 304

第三节 一阶线性微分方程与伯努利方程 305

一、一阶线性微分方程 305

二、伯努利（Bernoulli）方程 309

习题12－3 311

第四节 全微分方程 312

一、全微分方程 312

二、积分因子法 314

习题12－4 319

第五节 可降阶的高阶微分方程 320

一、y″＝f（x）型的微分方程 320

二、y″＝f（ x ， y ′）型的微分方程 322

三、y″＝f（ y， y ）型的微分方程 323

习题12－5 325

第六节 线性微分方程解的一般理论 326

一、线性齐次微分方程解的结构 326

二、非齐次线性微分方程及其解的结构 329

三、求非齐次线性微分方程特解的常数变异法 331

习题12－6 332

第七节 常系数齐次线性微分方程 333

一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解 333

二、n阶常系数齐次线性微分方程的通解 336

习题12－7 337

第八节 常系数非齐次线性微分方程 338

一、f（x）＝ eλxPm （ x）型 339

二、f（x）＝e λx[Pl（x）cosωx＋Pn （x） sinωx]型 344

习题12 －8 348

第九节 微分方程的应用举例 348

一、衰变问题 349

二、落体问题 350

三、追踪问题 352

四、力学系统 354

五、电路系统 357

六、生态系统 358

习题12－9 361

第十节 欧拉方程 362

习题12－10 366

第十一节 微分方程的幂级数解法 366

一、一阶微分方程的幂级数特解 367

二、二阶线性方程幂级数解法 367

习题12－11 370

第十二节 常系数线性微分方程组 370

一、常系数线性微分方程组解的结构 371

二、常系数线性微分方程组解法举例 372

习题12－12 376

附录ⅢMathematica软件使用入门和数学实验 378

第一节 Mathematica软件使用入门 378

一、启动和退出 379

二、数与运算符 380

三、变量 381

四、函数 383

五、表 385

六、程序设计 387

七、函数作图 390

八、教学助手 393

九、帮助系统 395

第二节 数学实验 395

实验一 极限 396

实验二 导数 401

实验三 极值与最值 406

实验四 积分 410

实验五 微分方程 416

实验六 求和与级数 421

习题参考答案 425