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第1章 误差 1

1.1误差、误差计算和误差来源 1

1.1.1误差表示法 1

1.1.2误差限 1

1.1.3误差计算 2

1.1.4误差来源 2

1.1.5有效数字及与相对误差之间的关系 4

1.2算法选择 5

1.2.1正确性 5

1.2.2算法选择的一般常识 6

1.2.3尽量使除数绝对值远离0 9

1.3误差与收敛性、稳定性 9

1.3.1收敛性 9

1.3.2稳定性 10

1.3.3选择程序设计难度低、程序本身复杂程度低的算法 10

习题 11

第2章 解线性方程组的直接法 12

2.1Gauss消元法 12

2.1.1不考虑主元素的Gauss消元法 12

2.1.2Gauss消元法的计算实例 14

2.1.3Gauss列主元法 15

2.1.4Gauss列主元消元法的计算量 16

2.1.5Gauss列主元消元法的计算步骤 17

2.1.6Gauss列主元消元法的计算实例 18

2.1.7Gauss全主元消元法 19

2.2改进平方根法 19

2.2.1正定矩阵的定义和性质 19

2.2.2改进平方根法的算式推导 19

2.2.3改进平方根法的计算步骤 21

2.2.4改进平方根法的计算实例 22

2.2.5改进平方根法的计算量 22

2.3追赶法 23

2.3.1追赶法的算法推导 23

2.2.6变带宽压缩存储改进平方根法 23

2.3.2追赶法的计算步骤 24

2.3.3追赶法的计算实例 25

2.4LU分解法 26

2.4.1LU分解法的计算公式 26

2.4.2LU分解法的求解公式 26

2.4.3LU分解法的计算步骤 27

2.4.4LU分解法的计算实例 28

2.5直接法的稳定性分析 28

2.5.1向量范数 29

2.5.2矩阵范数 30

2.5.3矩阵范数的性质 31

2.5.4直接法的误差分析 33

2.5.5算法和稳定性关系 34

习题二 34

3.1.1二分法的计算公式 37

3.1二分法 37

第3章 非线性方程的数值解法 37

3.1.2二分法的计算步骤 39

3.1.3二分法的计算实例 39

3.2Newton法 40

3.2.1Newton法的迭代公式 40

3.2.2Newton法的计算步骤 41

3.2.3Newton法的收敛性 42

3.3.1双点割线法的迭代公式 44

3.3割线法 44

3.2.4Newton法的计算实例 44

3.3.2双点割线法的计算步骤 45

3.3.3双点割线法的收敛性 46

3.3.4双点割线法的计算实例 46

3.3.5单点割线法的迭代公式 47

3.3.6单点割线法的计算步骤 47

3.3.7单点割线法的收敛性 47

3.3.8单点割线法的计算实例 47

3.4.1逐次迭代法的迭代公式 48

3.4逐次迭代法 48

3.4.2逐次迭代法的收敛性 49

3.4.3逐次迭代法的计算步骤 51

3.4.4逐次迭代法的计算实例 51

3.5根的分离和求全部单根算法 53

3.5.1根的分离 53

3.5.2用Newton法求所有根的计算公式 53

3.5.3特殊处理 53

3.5.5用Newton法求所有根的计算实例 54

3.5.4用Newton法求所有根的计算步骤 54

习题三 55

第4章 解线性代数方程组的迭代法 56

4.1向量序列和矩阵序列的极限 56

4.2Jacobi迭代法 57

4.2.1Jacobi迭代法的迭代公式 57

4.2.2Jacobi迭代法的矩阵形式 58

4.2.3Jacobi迭代法的计算步骤 59

4.2.4Jacobi迭代法计算实例 60

4.3Gauss-Seidel迭代法 61

4.3.1Gauss-Seidel迭代法的迭代公式 61

4.3.2Gauss-Seidel迭代法的矩阵形式 61

4.3.3Gauss-Seidel迭代法的计算步骤 62

4.3.4Gauss-Seidel迭代法的计算实例 63

4.4松弛迭代法 63

4.4.4松弛迭代法的计算实例 64

4.4.3松弛迭代法的计算步骤 64

4.4.2松弛迭代法的矩阵形式 64

4.4.1松弛迭代法的迭代公式 64

4.5迭代法的收敛条件 65

4.5.1对角占优矩阵和不可约矩阵 65

4.5.2迭代法的收敛条件和误差估计 66

4.6压缩存储 74

4.6.1压缩存储Jacobi迭代公式 74

4.6.2压缩存储Jacobi迭代法的计算步骤 75

4.6.4压缩存储Seidel迭代法计算实例和程序 76

4.6.3压缩存储Seidel迭代法算法 76

习题四 78

第5章 求矩阵特征值与特征向量 80

5.1幂法 80

5.1.1幂法的基本思想 80

5.1.2幂法的计算公式 81

5.1.3幂法的实际计算公式 83

5.1.4幂法的计算步骤 84

5.1.5幂法的计算实例 85

5.2逆幂法 86

5.2.1逆幂法的计算公式 86

5.2.2逆幂法的计算步骤 87

5.2.3逆幂法的计算实例 87

5.2.4用逆幂法求在？附近的特征值的计算公式 88

5.2.5用逆幂法求在？附近的特征值的计算实例 88

5.3求实对称阵特征值的对分法 89

5.3.1求实三对角阵特征值的对分法 89

5.3.2实对称阵的三对角化 92

习题五 97

第6章 代数插值多项式 99

6.1Lagrange插值多项式 99

6.1.1线性Lagrange插值多项式 99

6.1.2 2阶Lagrange插值多项式 100

6.1.3 n阶Lagrange插值多项式 100

6.1.4代数插值多项式余项计算 101

6.1.5Lagrange插值多项式的计算量 102

6.1.6Lagrange插值多项式的计算步骤 102

6.1.7Lagrange插值多项式的计算实例 103

6.2Newton插值多项式 104

6.2.1 1阶Newton插值多项式 104

6.2.2 2阶Newton插值多项式 104

6.2.3n阶Newton插值多项式 105

6.2.4Newton插值多项式的进一步研究 106

6.2.5Newton插值多项式的计算步骤 107

6.2.6带重节点的Newton插值多项式 108

6.2.7带重节点的Newton插值多项式的计算步骤（略） 110

6.2.8带重节点的Newton插值多项式的余项估计 110

6.3新代数插值 110

6.3.1Runge现象 110

6.3.2新代数插值多项式 111

6.3.3新代数插值多项式的性质 113

6.3.4平方等距插值的计算步骤 114

6.3.5新代数插值的计算量 116

6.3.6新代数插值的计算实例 117

6.3.7新代数插值的计算实例的结果分析 120

习题六 120

第7章 样条函数 122

7.1二次样条函数 122

7.1.1二次样条函数的特性 122

7.1.2二次样条函数的系数确定 122

7.1.3二次样条函数的计算步骤 123

7.14二次样条函数的计算实例 124

7.2三次样条函数 125

7.2.1三次样条函数的定义 125

7.2.2边界条件问题的提出与类型 125

7.2.3三次样条函数的构造方法 126

7.2.4三次样条函数的计算过程 128

7.2.5三次样条函数的计算实例 129

习题七 130

第8章 有理插值 131

8.1连分式 131

8.1.1连分式的概念 131

8.1.2连分式的计算 132

8.2有理插值 134

8.2.1有理插值函数 134

8.2.2反差商递推计算公式 135

8.2.3有理插值 136

8.2.4有理插值的计算过程 136

8.2.6逐次有理插值的计算步骤 137

8.2.5有理插值的计算实例 137

8.2.7逐次有理插值的计算实例 139

8.2.8误差分析 140

习题八 141

第9章 数值微积分 142

9.1数值积分基本方法 142

9.1.1一般数值积分公式 142

9.1.2构造数值积分公式的基本方法 142

9.2.1梯形积分公式的推导 143

9.2.2梯形积分公式的几何意义 143

9.1.3代数精度 143

9.2梯形积分 143

9.2.3梯形积分公式的代数精度和截断误差 144

9.2.4复合梯形积分公式 144

9.2.5复合梯形积分公式的计算步骤 145

9.2.6复合梯形积分公式的计算实例 146

9.3.2Simpson积分公式的代数精度 147

9.3.1Simpson积分公式的推导 147

9.3Simpson积分 147

9.3.3Simpson积分公式的截断误差 148

9.3.4复合Simpson积分公式 149

9.3.5复合Simpson积分公式求积的计算步骤 149

9.3.6复合Simpson积分公式求积的计算实例 150

9.4等距节点的Newton-Cotes积分 151

9.4.1Newton-Cotes积分公式的推导 151

9.4.2Newton-Cotes积分公式的代数精度 152

9.4.4Newton-Cotes积分公式的稳定性分析 153

9.4.3Newton-Cotes积分公式的截断误差 153

9.5Romberg积分 154

9.5.1复合梯形公式逐次分半算法 154

9.5.2复合梯形公式逐次分半算法的计算步骤 155

9.5.3复合梯形公式逐次分半算法的计算实例 155

9.5.4Romberg积分公式 156

9.5.5Romberg积分公式的计算步骤 158

9.6.1选取节点和系数提高代数精度 159

9.5.6Romberg积分公式的计算实例 159

9.6Gauss积分 159

9.6.2正交多项式 160

9.6.3Gauss积分公式的构造 161

9.6.4Gauss积分公式的计算步骤 162

9.6.5Gauss积分公式的计算实例 163

9.6.6Gauss积分公式的截断误差 163

9.6.7Gauss积分公式的稳定性分析 163

9.7多重数值积分 164

9.7.1多元Lagrange插值多项式 164

9.7.2二元Newton-Cotes积分公式 165

9.7.3二元Newton-Cotes积分公式的代数精度 165

9.7.4边界处理及复合Newton-Cotes积分公式 165

9.7.5二元Gauss积分公式 167

9.7.6二元Gauss积分公式的代数精度 167

9.7.8复合二元Newton-Cotes积分公式和Gauss积分公式的计算实例 168

9.7.7边界处理及复合二元Gauss积分公式 168

9.8数值微分 169

9.8.1差商法 169

9.8.2外推法 170

9.8.3外推法的计算步骤 170

9.8.4外推法的计算实例 171

9.8.5插值型求导公式 171

9.8.6插值型求导公式的计算实例 172

习题九 173

第10章 常微分方程初值问题的数值解 175

10.1Euler法 176

10.1.1Euler公式的推导 176

10.1.2Euler法的计算步骤 176

10.1.3Euler法的截断误差 177

10.2改进Euler法和预估—校正法 180

10.2.1改进Euler法 180

10.2.2改进Euler法的收敛性 181

10.2.4预估—校正法的计算步骤 182

10.2.3预估—校正法 182

10.2.5预估—校正法的计算实例 183

10.3Runge-Kutta法 184

10.3.1高阶Taylor法 184

10.3.22阶Taylor法的计算实例 184

10.3.32阶Runge-Kutta法 185

10.3.43阶和4阶Runge-Kutta法的计算公式 187

10.3.64阶Runge-Kutta法的计算实例 188

10.3.54阶Runge-Kutta法的计算步骤 188

10.4Adams法 189

10.4.1Adams内插法 190

10.4.2Adams外插法 191

10.4.3Adams外插法与内插法的计算实例 192

10.4.44阶Adams预估—校正法的计算公式 193

10.4.54阶Adams预估—校正法的计算步骤 193

10.4.64阶Adams预估—校正法的计算实例 195

10.5收敛性与稳定性 195

10.5.1收敛性 196

10.5.2稳定性 197

习题十 200

第11章 算法、公式、程序和语句 201

11.1简单算法和重复型简单算法 201

11.1.1简单算法 201

11.1.2重复型简单算法 202

11.2穷举法 203

11.3.1一元递推算法 204

11.3递推算法 204

11.3.2二元递推算法 205

11.3.3广义递推算法 206

11.4迭代算法 208

11.4.1变量迭代法 208

11.4.2向量迭代法 210

11.5数学实验 211

习题参考答案 213

参考文献 219