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第一章 函数 极限 连续 1

1.1 河面上水流的速度问题 1

目录 1

1.2 钢珠测内径问题 2

1.3 曲柄连杆驱动机构问题 2

1.4 偏心驱动机构问题 3

1.5 三星轧床宽度的调节 4

1.6 上岸点问题 4

1.7 四面体上截面面积问题 6

1.9 铁丝温度问题 7

1.8 当圆心角趋近于零时研究无穷小弓形面积与高的关系 7

1.10 四脚方椅的稳定问题 8

1.11 光滑的封闭曲线至少有一个外切正方形 9

练习一 10

1.12 牛头刨床的驱动机构问题 10

1.13 克服静摩擦力的最小拉力 11

1.14 单调增加函数图形与其反函数图形的交点 11

1.15 黄山旅游问题 11

练习一 解答 11

第二章 一元函数微分学 13

2.2 倒数螺旋线与阿基米德螺旋线的正交性 14

2.1 曲线运动的向心力问题 14

2.3 两辆汽车的加速度问题 16

2.4 汽车加速度问题 17

2.5 油层在海面上的扩散问题 18

2.6 开窗机构 18

2.7 讨论两条曲线交点的个数 19

2.8 求曲线的斜渐近线 20

2.9 关于最小二乘原理 22

2.10 两辆汽车之间的最近距离问题 22

2.11 怎样使野生动物乐园的面积最大 23

2.12 磁盘上字节数的最大值 24

2.13 圆锥形容器的容积问题 25

2.14 灯柱的最佳高度 27

2.15 最佳射门点问题 28

2.16 斜抛物体的投射角问题 28

2.17 枪榴弹打到了日本鬼子的头上 29

2.18 最短折痕问题 30

2.19 充分利用纸张面积的版面安排 31

2.20 最小润周问题 31

2.21 筷子问题 32

2.22 大街小巷问题 33

2.23 梯子长度问题 33

2.24 费尔马折射定律 34

2.25 转运站问题 35

2.26 学校的选址问题 36

2.27 耕牛饮水路线问题 37

2.28 怎样才能使炮弹内装的弹药最多 38

2.29 高速公路上前后两辆汽车间的间距问题 39

2.30 最经济的航行速度问题 40

2.33 轮子匀速滚动时轮子边缘一个定点的运动速度 41

2.35 液面何时升高得最快 41

2.34 圆的切线的一个性质 41

2.32 标枪枪头的运动轨迹问题 41

2.31 共焦椭圆与双曲线必正交 41

练习二 41

2.36 外圆磨床砂轮的径向切入速度 42

2.37 抗弯截面模量的最大值问题 42

2.38 浮筒体积的最大问题 42

2.39 Y形屋撑问题 42

2.40 另一个筷子问题 43

2.41 分针与时针针尖之间相离速度何时最大 43

2.42 变压器铁芯的最小外接圆 43

2.43 抛物线上最短法线弦 43

2.44 树干木材的增长率问题 43

练习二 解答 44

第三章 一元函数积分学 51

3.1 根据导函数图形求函数的最大值和最小值 51

3.2 根据函数图形求有关定积分 52

3.3 八月中秋吃月饼一个月饼四等分 52

3.4 求n—1条曲线将给定的曲边三角形面积n等分 53

3.5 “抛物线弓形”面积的最小值 54

3.6 铁路、公路与盘山小路长度之比较 55

3.7 证明两条闭曲线之周长相等 55

3.8 求一条曲线的全长 56

3.10 求体积的辛普森公式 57

3.9 求一条以极径为自变量的极坐标曲线之长度 57

3.11 餐巾环问题 59

3.12 底部有洞的容器还能盛多少水 60

3.13 比较这些旋转体的体积 61

3.14 圆柱形的容器何时会露出底部 62

3.15 求旋转体体积的最小值 62

3.16 可变旋转体体积的二阶导数 63

3.17 有两个拐点的四次曲线的一个特性 64

3.18 潜艇观察窗窗面上所受到的水压力 65

3.19 把链条全部拉上桌面需要作的功 67

3.20 击水泥桩入泥土中的作功问题 68

3.21 汽缸内气体的膨胀功 69

3.23 抽水作功问题 70

3.22 清除井底污泥需作的功 70

3.24 水中提取物体所做的功问题 71

3.25 质线对质点的引力问题 72

3.26 质线的质心 74

3.27 单调增加函数的平均值也是单调增加函数 74

3.28 函数在无穷区间上的平均值 75

3.29 圆内平行弦长度的平均值 76

3.30 非负连续函数的平均值不大于它的均方根 77

3.32 水从容器侧壁上的矩形孔中流出的流量 78

3.31 容器内液面升高的速度 78

3.33 伐木工如何砍树的问题 79

3.34 珠子沿曲线下滑所需要的时间 80

3.35 这场大雪是从何时开始下的 81

3.36 怎样解释“一桶”油漆无法涂满油漆桶的表面 81

练习三 82

3.37 抛物线下曲边三角形面积的一个性质 82

3.38 两条曲线长度之比较 82

3.44 求一个曲边三角形面积变化率的最大值 83

3.43 三次曲线的一个特性 83

3.42 求一条曲线，使它与给定直线所围图形绕x轴旋转所得立体的体积最小 83

3.41 铁球刚好全部浸没在容器所盛的液体中的条件 83

3.40 底部的洞不在边缘的情况下容器还能盛多少水 83

3.39 曲线弧长与切线倾角之间的关系 83

3.45 正放梯形板与倒放梯形板一侧所受水压力之比 84

3.46 克服弹性恢复力所作的功 84

3.47 引力所作的功 84

3.48 不均匀筷子的平衡问题 84

3.49 圆内过圆周上一个定点的弦长之均方根 84

3.50 原点在等轴双曲线切线上投影轨迹曲线所围图形之面积 84

3.51 子弹弹道的最大长度 84

练习三 解答 85

第四章 向量 空间解析几何 92

4.1 垂直渡河问题 92

4.2 风向问题 92

4.3 三角形的面积公式 93

4.4 内积的最值问题 93

4.5 线段被坐标面等分的问题 94

4.6 两个质点之间的最小距离 95

4.7 运动质点系的质心轨迹问题 95

4.8 质点系质心的一个性质 96

4.9 空间直线关于平面镜的镜像 97

4.10 求高射炮的火力范围 98

4.11 蚂蚁在圆锥面上走过的轨迹 99

4.12 立体在坐标面上的投影区域 100

练习四 101

4.13 三个匀速运动之质点构成的运动三角形面积的变化趋势 101

4.14 过给定直线作一个与坐标原点距离最远的平面 101

4.15 与z轴不共面的直线绕z轴旋转所得的曲面方程 101

4.16 圆柱面螺旋线的切线与中心轴的夹角 101

4.17 求一个旋转曲面的面积与该曲面所围成的立体体积 101

4.18 第一宇宙速度问题 101

练习四 解答 102

第五章 多元函数微分学 105

5.1 并联可变电阻总电阻的调节问题 106

5.2 转动惯量的最小值问题 107

5.3 圆内接多边形面积的最大值 107

5.4 再谈野生动物乐园的面积问题 109

5.5 关于两条线段乘积的最小值问题 111

5.6 最小润周问题中角度的确定 112

5.7 节约用水很重要——洗衣淘米问题 113

5.8 开凿运河的问题 114

5.9 三个海岛之间的三角形环形航线问题 115

5.10 鲨鱼的进击路线 117

5.12 屋顶上雨滴流动的轨迹 118

5.11 攀岩路线问题 118

5.13 证明给定曲面是柱面 119

5.14 切平面经过定点的一个曲面 120

5.15 证明两族曲面正交 121

练习五 121

5.16 转运站问题之再讨论 121

5.20 热锅上的蚂蚁往何处逃 122

练习五 解答 122

5.21 曲面f(x2+y2,z)=0的法线 122

5.19 三个海岛之间的三角形网的面积问题 122

5.18 最大过水面积问题 122

5.17 边长确定的四边形面积何时最大 122

第六章 多元函数积分学 127

6.1 管道内流体的平均流速 127

6.2 平面薄板一侧所受的水压力定理 128

6.3 一壶咖啡能倒满几杯 129

6.4 球状容器何时会露出底部 130

6.5 “不倒翁”的身高 132

6.6 “贱骨头”陀螺停止转动后其中心轴与地面的夹角 133

6.7 半环体质心在环面上的条件 134

6.8 球体对球体内一个质点的引力 135

6.9 椭球体关于过其中心的直线的转动惯量及其最值 136

6.10 潮涨潮落间小岛露出海面的面积之比 138

6.11 雪堆融化问题 139

6.12 人口分布密度的统计模型 141

6.13 消防车喷水枪喷水速度与枪口面积成反比 141

6.14 均匀球面对球面上一质点的引力 142

6.15 地球对彗星引力所作的功 144

6.16 陀螺的转动动能 145

6.17 地球上空空气的总量问题 146

6.18 航天器密封舱在海面上的溅落问题 146

6.19 曲顶柱面的面积 147

6.20 阿基米德浮力定理 148

练习六 149

6.21 三个正交圆柱面所界立体的体积 149

6.22 半椭球体稳定平衡的条件 149

6.23 惠更斯平行轴定理 149

6.24 大球内挖去两个小球后所剩下立体的转动惯量 149

6.25 空心球体对中空部分一个质点的引力 149

6.26 匀质正方体关于过中心轴之转动惯量与轴的方向无关 149

6.27 球形压力容器的周向应力问题 149

6.30 戈鲁金定理 150

练习六 解答 150

6.29 利用第一型曲线积分求旋转曲面面积 150

6.28 平面薄板在坐标面上投影区域的形心 150

第七章 微分方程 157

7.1 求与给定曲线族对应的微分方程 157

7.2 曳物线问题 158

7.3 小船的航线 159

7.4 鸭子的游动路线 160

7.5 猎狗互相追逐问题 161

7.6 旋转容器内液面形状问题 162

7.7 电动机降温问题 162

7.8 容器内溶液的含盐量问题 163

7.9 半球形漏斗的漏水问题 164

7.10 污水治理问题 165

7.11 冷却定理与破案问题 166

7.12 新技术的推广问题 167

7.13 二级化学反应的速度问题 168

7.14 卫星信号接收天线（小耳朵）的形状问题 169

7.15 桥墩形状问题 170

7.16 “恩恩爱爱纤绳荡悠悠”——悬链线问题 171

7.17 第二宇宙速度问题 173

7.18 炮仗能飞多高 174

7.19 关闭动力的汽艇还能滑行多远 175

7.20 弹簧振动问题 176

7.21 链条沿桌面滑动问题 177

7.22 浮筒的振动问题 178

7.23 逮住走私船——追线问题 179

7.24 冰雹下落的速度问题 180

7.25 雨滴下落的速度问题 181

7.26 单摆（数学摆）小幅摆动的等时性 182

7.27 小钢珠在上凹曲线底部来回滚动的周期 183

7.28 等速下降曲线问题 184

7.29 容器侧壁形状问题 185

7.30 曲边梯形面积与曲边弧长成正比的曲线方程 186

7.31 两条切线在y轴上截下来的线段与弧长相等的问题 187

7.34 小虫爬行的轨迹问题 188

7.35 就下列各种不同容器的情况重解7.9题 188

练习七 188

7.33 与给定曲线族正交的曲线族问题 188

7.32 求以给定曲线族为通积分曲线族的微分方程 188

7.36 新鲜空气的输入速度问题 189

7.37 中间储槽的容积问题 189

7.38 马王堆一号汉墓年代的考证 189

7.39 降落伞着地时的速度问题 189

7.40 子弹击穿木板问题 189

7.45 弓形面积有确定表达式的曲线方程 190

7.44 另一个容器侧壁形状问题 190

练习七 解答 190

7.42 绳索在钉子上滑动问题 190

7.43 核废料桶的处理问题 190

7.41 弹性横梁的振动问题 190

第八章 数列 级数 197

8.1 无限连分数与黄金分割问题 197

8.2 兔子的繁殖（斐波那契数列）与黄金数之间的关系 199

8.3 猪肉产销的蛛网模型 200

8.4 一个与n值有关的方程根xn所构成数列的极限 202

8.5 一个与切线有关的级数问题 204

8.7 利用级数方法来证明关于循环小数的算术命题 205

8.6 一个与面积有关的级数问题 205

8.8 这个十进位无限小数是有理数吗 206

8.9 银行存款问题 207

8.10 追踪运动信号源 208

练习八 209

8.11 另一个与n值有关的方程根xn所构成数列的极限 209

8.12 一个与递归定义数列有关的数列的极限 209

8.13 一个与广义面积有关的级数问题 209

8.14 一个与n值有关的方程根xn所构成级数的敛散性 209

练习八 解答 210

9.1 如何定价可使利润最大 212

第九章 经济方面的应用 212

9.2 如何确定日产量以获取最大效益 213

9.3 涨价对销售收入的影响 213

9.4 求使平均成本为最小的生产水平 215

9.5 关于市场的饱和需求量与需求量增加率的问题 215

9.6 关于经济订购批量和批次问题 216

9.7 确定适当的生产水平使税后利润有最大值 217

9.8 使利润最大的最优广告支出 218

9.10 求投资的回收期及投资的资本价值 219

9.9 已知边际成本和边际收入求最大利润 219

9.11 选择哪一个方案领取住房补贴 220

9.12 转售机器的最佳时间 221

9.13 同一产品在两个不同市场上的销售策略 223

9.14 两种不同产品在同一市场上的销售策略 224

9.15 如何确定鱼苗的投放量 225

9.16 最优广告投入策略 225

9.17 根据弹性求需求函数 226

9.20 新酿的好酒窖藏多少年后出售可使销售收入的现值最大 227

9.19 用收益对需求的边际、收益对价格的边际以及需求对价格的弹性来表示价格和需求量 227

9.21 何时停产（停止新的投入）可使企业获最大利润 227

练习九 227

9.18 证明固定替代弹性生产函数的极限就是C-D生产函数 227

9.22 在产量确定的条件下，求两种要素的投入量使投入总费用最省 228

9.23 在两种要素的投入总费用确定的条件下，求产量的最大值 228

9.24 关于Cobb-Douglas生产函数弹性与边际的某些性质 228

9.25 一个差分方程的求解问题 228

练习九 解答 228

第十章 线性代数 232

10.1 两条空间直线之间的关系 232

10.2 平面上三条直线共点的充要条件 233

10.4 空间四个点不共面的充要条件 235

10.3 三张平面之间的相对位置 235

10.5 平面曲线的曲率具有正交变换不变性 236

10.6 光滑曲线的弧长具有正交变换不变性 237

10.7 简单光滑闭曲线所围图形的面积具有正交变换不变性 238

10.8 给定曲面是椭球面的充分必要条件 239

10.9 判断方程所表示的曲面形状 240

10.10 证明所给曲面是圆锥面 241

10.11 二元函数取得极值的充分条件 243

10.12 经过技术培训后熟练工和非熟练工的比例 244

10.17 曲面在坐标面上的投影 246

10.16 判断给定方程所表示的曲面形状 246

10.15 两向量之间的夹角具有正交变换不变性 246

10.14 三曲面在公共点处法向量线性相关的一个充分条件 246

10.13 平面上不共线的三点所确定的圆的方程 246

练习十 246

练习十 解答 247

第十一章 概率论与数理统计 251

11.1 蒲丰掷针试验 251

11.2 敌方军事目标被炸中的概率 253

11.3 求“带了伞但没下雨”和“天下雨而没带伞”的概率 253

11.4 方程有实数根的概率 254

11.5 候车问题 255

11.6 药效的判断问题 256

11.7 与圆周上任一点有关的随机变量的分布问题 257

11.8 投篮次数的分布 258

11.9 随机投点问题 259

11.10 呼叫信号的平均次数 259

11.11 利润的期望值 260

11.12 哪一种化验方案好 261

11.13 票券收集问题 262

11.14 汽车载重量问题 264

11.15 电话线路设置问题 265

11.16 不合格品率的估计问题 265

11.17 无偏估计及有效性 266

11.19 炮弹的炮口速度的标准差的置信区间 267

11.18 居民对某种商品的平均需求量的估计问题 267

11.20 不同方案下平均产量之差的置信区间 268

11.21 矩形工艺品是否为黄金矩形 269

11.22 包装机是否正常工作 269

11.23 杜鹃蛋的长度是否与被它们所占据的鸟巢有关 270

11.24 不同银行储户的平均年存款余额有无显著差异 270

练习十一 271

11.25 圆周上两点问弦长在某个范围的概率 271

11.30 最佳库存量 272

11.33 保险公司理赔问题 272

11.32 汽车通过的路口数的分布 272

11.31 产品数的期望与方差 272

11.27 新药有效的概率 272

11.29 最佳批销量 272

11.28 商场内不同性别顾客人数的分布问题 272

11.26 信号传输问题 272

11.34 平均工时的置信限 273

11.35 饭店的优惠措施对订位率是否有显著影响 273

11.36 不同方案对产品得率的影响 273

练习十一 解答 273

参考文献 278