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第一章 函数与极限 1

第一节 映射与函数 1

一、集合 1

二、映射 5

三、函数 7

习题1.1 18

第二节 数列的极限 19

一、数列极限的定义 19

二、收敛数列的性质 24

一、函数极限的定义 26

第三节 函数的极限 26

习题1.2 26

二、函数极限的性质 31

习题1.3 32

第四节 无穷小与无穷大 33

一、无穷小 33

二、无穷大 34

习题1.4 35

第五节 极限运算法则 36

习题1.5 42

第六节 极限存在准则，两个重要极限 42

习题1.6 45

第七节 无穷小的比较 46

第八节 函数的连续性与间断点 48

一、函数的连续性 48

习题1.7 48

二、函数的间断点 50

习题1.8 52

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 53

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 53

二、反函数与复合函数的连续性 53

三、初等函数的连续性 55

第十节 闭区间上连续函数的性质 56

一、有界性与最大值最小值定理 56

习题1.9 56

二、零点定理与介值定理 57

习题1.10 58

总习题一 59

第二章 导数与微分 61

第一节 导数的概念 61

一、引例 61

二、导数的定义 63

三、导数的几何意义 67

四、函数的可导性与连续性的关系 68

习题2.1 69

第二节 函数的求导法则 70

一、函数的和、差、积、商的求导法则 71

二、反函数的求导法则 73

三、复合函数的求导法则 74

四、基本求导法则与导数公式 77

习题2.2 79

第三节 高阶导数 80

习题2.3 82

第四节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 83

一、隐函数的导数 83

二、由参数方程所确定的函数的导数 85

习题2.4 87

一、微分的定义 88

第五节 函数的微分 88

二、微分的几何意义 90

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 91

四、微分在近似计算中的应用 93

五、微分在误差估计中的应用 95

习题2.5 96

总习题二 97

第三章 微分中值定理与导数的应用 100

第一节 微分中值定理 100

一、罗尔（Rolle）中值定理 100

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 101

三、柯西（Cauchy）中值定理 104

习题3.1 105

一、0/0型未定式 106

第二节 洛必达（L'Hospital）法则 106

二、∞/∞型未定式 107

三、其它类型的未定式 108

习题3.2 111

第三节 泰勒公式 111

习题3.3 116

第四节 函数的单调性与极值 116

一、函数单调性的判定 116

二、曲线的凹凸性与拐点 117

习题3.4 122

一、函数的极值 123

第五节 函数的极值，最大值与最小值 123

二、函数的最大值和最小值 126

习题3.5 129

第六节 函数的图形 130

一、曲线的渐近线 130

二、依据函数特性做图 132

习题3.6 135

第七节 曲率 135

一、弧微分 135

二、曲率及其计算公式 136

三、曲率圆与曲率半径 139

习题3.7 140

一、二分法 141

第八节 方程的近似解 141

二、切线法 142

习题3.8 144

总习题三 145

第四章 不定积分 146

第一节 不定积分的概念和性质 146

一、原函数与不定积分的概念 146

二、基本积分表 148

三、不定积分的性质 150

习题4.1 151

一、第一类换元法 152

第二节 换元积分法 152

二、第二类换元法 157

习题4.2 160

第三节 分部积分法 162

习题4.3 165

第四节 几种特殊类型函数的积分 165

一、有理函数的积分 165

二、可化为有理函数的积分举例 170

三、积分表的使用 172

习题4.4 174

总习题四 175

一、定积分的实际背景 177

第五章 定积分及应用 177

第一节 定积分的概念与性质 177

二、定积分的定义 179

三、定积分的几何意义 180

四、定积分的性质 181

习题5.1 184

第二节 微积分基本公式 185

一、积分上限函数及其导数 186

二、牛顿—莱布尼茨公式 187

习题5.2 190

一、定积分的换元积分法 191

第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 191

二、定积分的分部积分法 193

习题5.3 194

第四节 反常积分 196

一、无穷限的反常积分 196

二、无界函数的反常积分 199

习题5.4 201

第五节 定积分在几何学上的应用 201

一、定积分的元素法 201

二、平面图形的面积 202

三、体积 206

四、平面曲线的弧长 211

习题5.5 213

第六节 定积分在物理学上的应用 215

一、变力沿直线所作的功 215

二、水压力 216

三、引力 217

习题5.6 218

总习题五 219

第六章 空间解析几何与向量代数 221

第一节 二阶与三阶行列式 221

习题6.1 224

第二节 向量及其线性运算 224

一、向量的概念 224

二、向量的线性运算 225

三、空间直角坐标系 229

四、利用坐标作向量的线性运算 230

五、向量的模、方向角、投影 231

习题6.2 234

第三节 数量积 向量积 混合积 235

一、两向量的数量积 235

二、两向量的向量积 238

三、向量的混合积简介 240

习题6.3 241

第四节 曲面及其方程 242

一、曲面方程的概念 242

二、旋转曲面 243

三、柱面 245

四、二次曲面 246

习题6.4 249

第五节 空间曲线及其方程 249

一、空间曲线的一般方程 249

二、空间曲线的参数方程 251

三、空间曲线在坐标面上的投影 252

习题6.5 253

第六节 平面及其方程 254

一、平面的点法式方程 254

二、平面的一般方程 255

三、两平面的夹角 256

习题6.6 258

第七节 空间直线及其方程 259

一、空间直线的一般方程 259

二、空间直线的对称式方程与参数方程 259

三、两直线的夹角 261

四、直线与平面的夹角 261

五、杂例 262

习题6.7 263

总习题六 264

附录 积分表 266

习题答案与提示 276