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第七章 多元函数微分法及其应用 1

第一节 多元函数的基本概念 1

一、平面点集与n维空间 1

二、多元函数的概念 3

三、多元函数的极限 5

四、多元函数的连续性 7

习题7.1 8

一、偏导数 9

第二节 二元函数的偏导数与全微分 9

二、高阶偏导数 11

三、全微分及其应用 13

习题7.2 16

第三节 多元复合函数与隐函数的求导法则 17

一、多元复合函数的求导法则 17

二、全微分形式的不变性，设函数Z=f（u,ν）具有连续偏导数，则有全微分 19

三、隐函数的求导法则 20

习题7.3 21

一、空间曲线的切线与法平面 22

第四节 偏导数在几何上的应用 22

二、曲线的切平面与法线 24

习题7.4 27

第五节 方向导数与梯度 27

一、方向导数 27

二、梯度 29

习题7.5 31

第六节 多元函数的极值及其求法 31

一、多元函数的极值 31

二、条件极值，拉格朗日乘数法 34

习题7.6 36

第七节 最小二乘法 36

习题7.7 40

总习题七 41

第八章 重积分 44

第一节 二重积分的概念与性质 44

一、二重积分的概念 44

二、二重积分的性质 46

一、X型积分区域 48

习题8.1 48

第二节 利用直角坐标计算二重积分 48

二、Y型积分区域 50

三、其它型积分区域 51

习题8.2 53

第三节 利用极坐标计算二重积分 54

习题8.3 59

第四节 三重积分 60

一、三重积分的概念 60

二、三重积分的计算 61

习题8.4 67

第五节 重积分的应用 68

一、曲面的面积 68

二、质心 70

三、转动惯量 73

四、引力 74

习题8.5 76

总习题八 76

一、功的问题 78

第九章 曲线积分和曲面积分 78

第一节 对坐标的曲线积分 78

二、对坐标的曲线积分 79

三、对坐标的曲线积分的计算方法 80

习题9.1 84

第二节 对弧长的曲线积分 85

一、定义 85

二、对弧长的曲线积分的计算方法 86

三、对坐标的曲线积分和对弧长的曲线积分之间的关系 89

习题9.2 89

第三节 格林公式及其应用 90

一、格林公式 90

二、曲线积分与路经无关的条件 93

三、二元函数的全微分求积 94

习题9.3 96

第四节 曲面积分 97

一、流量问题、对坐标的曲面积分 97

二、对面积的曲面积分 103

三、两种曲面积分之间的关系 104

习题9.4 105

第五节 高斯公式 106

习题9.5 109

总习题九 110

第十章 微分方程 112

第一节 微分方程的概念 112

习题10.1 115

第二节 可分离变量的微分方程 116

习题10.2 118

第三节 齐次方程 119

一、齐次方程 119

二、可化为齐次方程的方程 123

习题10.3 125

第四节 一阶线性微分方程 126

一、线性方程 126

二、贝努利方程 128

习题10.4 132

第五节 全微分方程 133

习题10.5 138

第六节 可降阶的高阶微分方程 139

一、y(n)=f(x)型的微分方程 139

二、y″=f(x,y′) 141

三、y″=f(x,y′)型的微分方程 145

习题10.6 147

一、高阶线性微分方程举例 148

第七节 高阶线性微分方程 148

二、线性齐次微分方程解的结构 149

三、线性非齐次微分方程解的结构 151

四、常数变易法 152

习题10.7 154

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 155

习题10.8 160

第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 160

一、f(x)=Pn(x)eλx型 161

二、f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型 165

习题10.9 172

总习题十 173

第十一章 无穷级数 175

第一节 常数项级数的概念和性质 175

一、常数项级数的概念 175

二、收敛级数的基本性质 178

三、柯西审敛原理 181

习题11.1 181

一、正项级数及其审敛法 182

第二节 常数项级数的审敛法 182

二、交错级数及其审敛法 189

三、绝对收敛与条件收敛 191

习题11.2 192

第三节 幂级数 193

一、函数项级数的概念 193

二、幂级数及其收敛性 194

三、幂级数的运算 198

一、泰勒级数和麦克劳林级数 201

第四节 函数展开成幂级数 201

习题11.3 201

二、函数展开成幂级数 204

习题11.4 210

第五节 函数的幂级数展开式的应用 210

一、函数值的近似计算 210

二、定积分的数值计算 211

三、函数f（x）在给定点的高阶导数 212

四、欧拉公式 213

一、三角函数系与三角级数 214

习题11.5 214

第六节 傅里叶级数 214

二、欧拉－傅里叶公式与傅里叶级数 215

三、正弦级数和余弦级数 221

四、周期为2 l的周期函数的傅里叶级数 226

五、傅里叶级数的复数形式 228

习题11.6 231

总习题十一 231

习题答案与提示 234