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绪论 1

第一章　距离空间 14

1.1　距离空间的基本概念 14

1.1.1　距离空间的定义 14

1.1.2　距离空间的例 16

1.1.3　距离空间中的收敛 20

1.2　开集和连续映射 25

1.2.1　开球、闭球 25

1.2.2　内点、开集、邻域 27

1.2.3　等价的距离、连续映射 28

1.3 闭集 可分性列紧性 31

1.3.1　距离空间中的闭集 31

1.3.2　闭集的结构 31

1.3.3　可分的距离空间 33

1.3.4　列紧的距离空间 35

1.4 完备的距离空间 37

1.4.1　Cauchy列 37

1.4.2　完备的距离空间 38

1.4.3　完备与不完备距离空间的例 40

1.4.4　距离空间的完备化 43

1.5 完备距离空间的性质和一些应用 47

1.5.1　闭球套定理 47

1.5.2　压缩映射原理 48

1.5.3　压缩映射原理的应用 51

习题1 56

第二章　线性赋范空间 60

2.1　赋范空间的基本概念 60

2.1.1　赋范空间和Banach空间的定义 60

2.1.2　范数的连续性 62

2.1.3　范数与距离的关系 63

2.2 完备的赋范空间 63

2.2.1　连续函数上定义的不同范数 64

2.2.2　赋范空间的完备化 64

2.2.3　Lp空间 65

2.2.4　L∞空间 70

2.2.5　lp空间 71

2.3　赋范空间的几何结构 73

2.3.1　凸集 73

2.3.2　子空间 74

2.3.3　Riesz引理 76

2.4　有限维的赋范空间 78

2.4.1　等价的范数 78

2.4.2　有限维空间 80

2.4.3　有限维赋范空间的几何特征 81

2.5　赋范空间的进一步性质 82

2.5.1　赋范空间中的级数 82

2.5.2　赋范空间的商空间 84

2.5.3　赋范空间的乘积空间 86

习题2 88

第三章 内积空间与Hilbert空间 92

3.1 内积空间的基本性质 92

3.1.1　内积空间的定义 92

3.1.2 由内积生成的范数 93

3.1.3　内积和相应范数的关系 95

3.1.4　完备的内积空间 97

3.2　正交与正交分解 99

3.2.1　正交的定义 99

3.2.2　正交补集 100

3.2.3　最佳逼近 101

3.2.4　Hilbert空间的正交分解 104

3.3　正交系和正交基 106

3.3.1 内积空间中的正交系 106

3.3.2　正交投影 107

3.3.3　正交基 108

3.4　Bessel不等式和正交列的完备性 110

3.4.1　Bessel不等式 110

3.4.2　正交列的完备性 113

3.4.3　标准正交基的例 116

3.5 可分的Hillbert空间 117

3.5.1　线性无关组的正交化算法 117

3.5.2　可分的Hilbert空间与l2等距同构 119

习题3 121

第四章　有界线性算子 125

4.1　有界线性算子与有界线性泛函 125

4.1.1　有界线性算子与有界线性泛函的定义 125

4.1.2　有界线性算子组成的赋范空间 127

4.1.3　有界线性算子的例 130

4.1.4　有界线性算子范数的计算 133

4.2　有界线性算子空间的收敛与完备 135

4.2.1　有界线性算子空间中的收敛性 135

4.2.2　有界线性算子空间的完备性 137

4.3　一致有界原则 138

4.3.1　Baire纲定理 139

4.3.2　一致有界原则 140

4.3.3　强收敛意义下的完备性 143

4.3.4　共鸣定理的应用 144

4.4　开映射定理与逆算子定理 147

4.4.1　逆算子 147

4.4.2　开映射定理 148

4.4.3　逆算子定理 152

4.5 闭算子与闭图像定理 154

4.5.1　闭算子的定义 154

4.5.2　闭算子的例 156

4.5.3　闭图像定理 157

习题4 158

第五章　共轭空间和共轭算子 163

5.1 Hahn-Banach定理 163

5.1.1　Hahn-Banach定理 163

5.1.2　Hahn-Banach定理的推论 166

5.1.3　线性泛函和闭集分离 167

5.2　共轭空间 169

5.2.1　共轭空间的概念 170

5.2.2 Lp［a,b］的共轭空间（1＜p＜∞） 170

5.2.3　C［a,b］的共轭空间 175

5.2.4　空间c的共轭空间 177

5.3　Hilbert空间的共轭空间 共轭算子 177

5.3.1　Riesz表示定理 177

5.3.2　Hilbert空间的共轭空间 179

5.3.3　Hilbert空间上的共轭算子 180

5.4 自共轭的有界线性算子 183

5.4.1　有界自共轭算子的定义、例 183

5.4.2　自共轭算子的性质 185

5.4.3　Cartesian分解 187

5.5　Banach空间上的共轭算子 弱收敛 188

5.5.1　Banach空间上的共轭算子 188

5.5.2　自反性 190

5.5.3　弱收敛 191

5.5.4　一些具体空间中的弱收敛 193

习题5 195

第六章　线性算子的谱理论 199

6.1　谱集和正则点集 199

6.1.1　谱点和正则点的定义 199

6.1.2　特征值和特征元素 200

6.1.3　闭线性算子的正则点 201

6.1.4　存在不是特征值的谱点 202

6.2　有界线性算子的谱集 202

6.2.1　有界线性算子的谱集是有界集 203

6.2.2　有界线性算子的谱集是闭集 204

6.2.3　有界线性算子的谱集非空 205

6.2.4　有界线性算子的谱半径 207

6.3　有界自共轭线性算子的谱 209

6.3.1　有界自共轭线性算子剩余谱集是空集 209

6.3.2　有界自共轭线性算子谱集的性质 210

6.3.3　有界自共轭线性算子谱的分布 211

习题6 212

第七章　紧线性算子的谱分解 215

7.1 紧线性算子 215

7.1.1　紧线性算子的定义 215

7.1.2　紧线性算子的例 216

7.1.3　紧线性算子空间 217

7.1.4　紧算子的有穷秩逼近 219

7.2　紧线性算子的谱 221

7.2.1　紧线性算子的特征值 221

7.2.2　紧线性算子零空间的结构和连续谱 222

7.2.3　紧线性算子像空间的结构和剩余谱 224

7.2.4　Riesz-Schauder理论 225

7.3　紧的自共轭线性算子的谱 227

7.3.1　紧的自共轭线性算子的谱分解 227

7.3.2　极大极小原理 229

7.4　投影算子的加权和 231

7.4.1　投影算子和投影算子的加权和 231

7.4.2　投影算子加权和的性质 234

7.4.3　投影算子加权和的谱 235

7.4.4　紧的自共轭投影算子的加权和 238

习题7 239

附录 244

附录Ⅰ 距离空间的紧性 244

Ⅰ．1　列紧集，完全有界集 244

Ⅰ．2　紧集 246

Ⅰ．3　不同空间中紧集的充要条件 247

Ⅰ．4　弱列紧 250

附录Ⅱ 线性空间 251

Ⅱ．1　线性空间的概念 251

Ⅱ．2　线性无关和线性相关 252

Ⅱ．3　线性空间的维数与Hamel基 253

附录Ⅲ Lp空间 254

Ⅲ．1　Lp空间完备性的证明 254

Ⅲ．2　Lp空间的收敛性 256

附录Ⅳ 有界变差函数空间V［a,b］ 256

索引 260

参考文献 263