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第一章 数学物理方程概述 1

§1 偏微分方程举例和基本概念 1

1.1 偏微分方程举例 1

1.2 基本概念 2

§2 方程及定解问题的物理推导 3

2.1 弦振动方程 3

2.2 薄膜平衡方程 5

2.3 热传导方程 7

2.4 定解条件和定解问题 9

§3 两个重要原理 11

3.1 杜阿梅尔原理 12

3.2 叠加原理 13

习题一 15

第二章 分离变量法和积分变换法 17

§1 齐次波动方程的第一齐边值问题 17

1.1 有界弦的自由振动 17

1.2 解的物理意义 22

§2 齐次热传导方程的定解问题 23

2.1 热传导方程的第二齐边值问题 23

2.2 傅里叶积分 24

2.3 齐次热传导方程的初值问题 27

2.4 傅里叶积分解的物理意义 28

§3 维拉普拉斯方程 30

3.1 圆域内的第一边值问题 30

3.2 圆域外的第一边值问题 32

4.1 非齐次方程的求解 33

§4 非齐次定解问题的解法 33

4.2 非齐次边界条件的处理 35

4.3 特殊的方程非齐次项处理 36

§5 积分变换法 38

习题二 41

第三章 行波法 44

§1 弦振动方程的初值问题 44

1.1 达朗贝尔公式 44

1.2 达朗贝尔解的物理意义 46

1.3 阶偏微分方程的分类 46

§2 高维齐次波动方程 50

2.1 三维波动方程（平均值法） 50

2.2 二维波动方程（降维法） 52

2.3 泊松公式的物理意义 53

§3 非齐次波动方程 55

习题三 57

第四章 格林函数法 58

§1 拉普拉斯方程边值问题的提法 58

§2 调和函数 60

2.1 格林公式 60

2.2 拉普拉斯方程的对称解 61

2.3 调和函数的基本性质 62

§3 格林函数 65

3.1 格林函数的定义 65

3.2 格林函数的性质和物理意义 67

§4 几类特殊区域问题的求解 68

习题四 70

§1 勒让德方程的导出 72

第五章 勒让德多项式 72

§2 勒让德方程的幂级数解 73

§3 勒让德多项式 75

§4 勒让德多项式的母函数及其递推公式 77

4.1 勒让德多项式的母函数 77

4.2 勒让德多项式的递推公式 79

§5 勒让德多项式的正交性 80

§6 勒让德多项式的应用 82

习题五 85

第六章 贝塞尔函数 87

§1 贝塞尔方程的导出 87

§2 贝塞尔方程的级数解 88

2.1 贝塞尔方程的求解 88

2.2 贝塞尔方程的通解 91

§3 贝塞尔函数的母函数及递推公式 92

3.1 贝塞尔函数的母函数 92

3.2 贝塞尔函数的递推公式 93

§4 函数展成贝塞尔函数的级数 95

4.1 贝塞尔函数零点的性质 96

4.2 贝塞尔函数的正交性和归一性 96

4.3 展开定理的叙述 97

§5 贝塞尔函数的应用 98

习题六 101

第七章 变分法 103

§1 泛函和泛函的极值问题 103

1.1 基本概念 103

1.3 泛函极值的必要条件 105

1.2 变分法基本引理 105

1.4 泛函极值的充分条件 108

§2 泛函的条件极值问题 111

2.1 泛函的条件极值及其必要条件 111

2.2 应用举例 113

§3 变分法应用 114

3.1 泛函极值问题与边值问题 114

3.2 泛函极值问题的近似解法 116

习题七 119

第八章 数学物理方程的有限差分法 121

§1 差分方程的构造 121

§2 调和方程的差分格式 123

§3 热传导方程的差分格式 125

§4 波动方程的差分格式 127

习题八 128

第九章 定解问题的适定性 130

§1 适定性的概念 130

§2 古典解的存在性 131

§3 古典解的唯一性和稳定性 133

3.1 能量积分 133

3.2 古典解的唯一性 134

3.3 古典解的稳定性 135

习题九 137

附录Ⅰ 一般形式的二阶线性常微分方程固有值问题的一些结论 138

附录Ⅱ г函数的定义和基本性质 140

习题参考答案 142

参考文献 146