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目录 1

第1章 计算方法与误差 1

1.1 引言 2

1.2 误差的来源及分类 2

1.2.1 模型误差 2

1.2.2 观测误差 3

1.2.3 截断误差 3

1.2.4 舍入误差 3

1.3 误差的度量 3

1.3.1 绝对误差和绝对误差限 3

1.3.2 相对误差和相对误差限 4

1.3.3 有效数字 5

1.3.4 有效数字与相对误差 6

1.4 误差的传播 8

1.4.1 函数运算误差 8

1.4.2 四则运算的误差 9

1.5 减少运算误差的原则 9

1.5.1 要避免相近两数相减 10

1.5.2 要防止“大数吃掉小数” 10

1.5.3 绝对值太小的数不宜做除数 11

1.5.4 简化计算步骤，减小运算次数 11

1.5.5 控制递推公式中误差的传播 12

本章小结 13

习题 14

第2章 一元非线性方程数值解法 15

2.1 引言 16

2.2 二分法 16

2.2.1 确定有限区间的方法 16

2.2.2 二分法的求根过程 17

2.2.3 二分法的算法实现 18

2.3 迭代法 20

2.3.1 迭代法的基本思想 20

2.3.2 迭代法的几何意义 21

2.3.3 迭代法收敛的条件 22

2.3.4 迭代法的算法实现 24

2.3.5 局部收敛性 25

2.3.6 迭代法的收敛速度 26

＊2.3.7 迭代过程的加速 27

2.4 牛顿迭代法 29

2.4.1 牛顿迭代法的基本思想 29

2.4.2 牛顿迭代法的几何解释 30

2.4.3 牛顿迭代法的收敛性 30

2.4.4 牛顿迭代法的算法实现 31

2.4.5 牛顿下山法 32

2.5.2 弦截法的几何意义 33

2.5.1 弦截法的基本思想 33

2.5 弦截法 33

2.5.3 弦截法的算法实现 34

本章小结 34

习题 35

第3章 解线性方程组的直接方法 37

3.1 引言 38

3.2 解线性方程组的直接法（高斯消去法） 38

3.2.1 高斯消去法的基本思想 38

3.2.2 高斯消去法的算法构造 40

3.2.3 高斯消去法的适用条件 43

3.2.4 主元素消去法 44

3.2.5 高斯-约当消去法 48

3.3 矩阵三角分解法 50

3.3.1 矩阵三角分解原理 50

3.3.2 用三角分解法解方程组 53

3.4 平方根法 55

3.5 追赶法 59

3.5.1 追赶法的计算公式 60

3.5.2 追赶法的算法实现 61

3.6 向量和矩阵的范数 62

3.6.1 向量范数及其计算 62

3.6.2 矩阵范数及其计算 64

3.7.1 方程组的性态 65

3.7 误差分析 65

本章小结 68

3.7.2 精度分析 68

习题 69

第4章 解线性方程组的迭代法 71

4.1 引言 72

4.2 迭代法的基本思想 72

4.3 雅可比迭代法 73

4.3.1 雅可比迭代法算法构造 73

4.3.2 雅可比迭代法的矩阵表示 74

4.3.3 雅可比迭代法的算法实现 76

4.4.2 高斯-塞德尔迭代法的矩阵表示 77

4.4 高斯-塞德尔迭代法 77

4.4.1 高斯-塞德尔迭代法的基本思想 77

4.4.3 高斯-塞德尔迭代法的算法实现 78

4.5 超松弛迭代法 78

4.5.1 超松弛迭代法的基本思想 78

4.5.2 超松弛迭代法的矩阵表示 79

4.6 迭代法的收敛性 80

本章小结 85

习题 86

第5章 插值与曲线拟合 88

5.2 插值法的基本原理 89

5.1 引言 89

5.3 拉格朗日插值 90

5.3.1 线性插值与抛物插值 91

5.3.2 拉格朗日插值多项式 93

5.3.3 拉格朗日插值算法实现 95

5.3.4 插值多项式的误差 95

5.4 牛顿插值多项式 96

5.4.1 差商及其性质 97

5.4.2 牛顿插值公式 99

5.4.3 牛顿插值法的算法实现 100

5.4.4 等距节点的牛顿插值公式 101

5.5 埃尔米特插值 103

5.6 分段线性插值 105

5.6.1 高次插值的龙格现象 105

5.6.2 分段线性插值 106

5.7 三次样条插值＊ 108

5.7.1 三次样条函数 108

5.7.2 三次样条插值函数的求法 109

5.8 曲线拟合的最小二乘法 114

本章小结 120

习题 121

第6章 数值积分与微分 123

6.2.1 数值积分的基本思想 124

6.1 引言 124

6.2 数值积分概述 124

6.2.2 插值求积公式 125

6.3 牛顿-柯特斯求积公式 129

6.4 几个低阶求积公式 131

6.5 复化求积公式 133

6.5.1 复化梯形公式及其误差 133

6.5.2 复化梯形求积法的算法实现 134

6.5.3 复化辛普森公式及其误差 134

6.5.4 复化辛普森求积法的算法实现 135

6.6 龙贝格求积法 136

6.6.1 变步长梯形公式 137

6.6.2 变步长梯形求积法的算法实现 138

6.6.3 龙贝格求积公式 139

6.6.4 龙贝格求积法的算法实现 140

＊6.7 高斯型求积公式 142

6.7.1 高斯积分问题的提出 142

6.7.2 高斯求积公式的构造与应用 143

6.8 数值微分 145

6.8.1 中点方法 145

6.8.2 插值型求导公式 146

本章小结 148

习题 149

第7章 常微分方程的数值解法 151

7.1 引言 152

7.2 数值方法的基本思想 152

7.3 欧拉法 153

7.3.1 欧拉公式 153

7.3.2 梯形公式 155

7.3.3 两步欧拉公式 155

7.3.4 欧拉法的局部截断误差 155

7.3.5 改进的欧拉公式 156

7.3.6 改进的欧拉法的算法实现 157

7.4.2 二阶龙格-库塔法 159

7.4.1 龙格-库塔法的基本思想 159

7.4 龙格-库塔法 159

7.4.3 三阶龙格-库塔法 161

7.4.4 四阶龙格-库塔 161

7.4.5 四阶龙格-库塔法的算法实 162

7.4.6 变步长的龙格-库塔法 163

7.5 亚当斯方法 164

7.5.1 亚当斯格式 164

7.5.2 亚当斯预报—校正格式 165

7.6 算法的稳定性及收敛性 166

7.6.1 稳定性 166

7.6.2 收敛性 167

7.7 一阶常微分方程组与高阶方程 168

7.7.1 一阶常微分方程组 169

7.7.2 高阶方程组 170

本章小结 172

习题 172

附录A 数值计算实验参考程序 174

A1 用二分法求非线性方程实根 174

A2 用迭代法求非线性方程实根 175

A3 用牛顿迭代法求非线性方程实根 176

A4 用高斯列主元消去法求解线性方程组 177

A5 用追赶法求解线性方程组 180

A6 用雅可比迭代法求解线性方程组 181

A7 用高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组 182

A8 拉格朗日插值多项式 183

A9 牛顿插值多项式 184

A10 最小二乘拟合 185

A11 复化梯形求积法 187

A12 复化辛普森求积法 188

A13 变步长梯形求积法 189

A14 龙贝格求积法 190

A15 改进的欧拉法计算常微分方程初值问题 191

A16 四阶龙格-库塔法计算常微分方程初值问题 192

附录B 部分习题参考答案 195

参考文献 198