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第一章　从计算机说起 1

计算机的“绝活”是什么？ 1

计算机是怎样工作的？ 3

数学的野心 6

不当数学家 9

关于科普读物 12

第二章　数是什么 17

古代的数字 17

记数法 18

有没有更简单的记数法 21

负数 22

度量衡与分数 23

无理数的诞生（？之谜） 24

虚数不虚 26

数系巡礼 29

实数连续性的奥秘 31

第三章　运算的规律 34

什么是运算 34

为什么-（-a）＝a 35

可交换与不交换 36

代数运算的三个级别 36

第四章　怎样才能算得快 38

两位数加减法的心算 38

两位数平方的速算 39

两位数乘法的速算 41

接近10、100、1000、10000的数的乘法速算 42

除法的速算 44

第五章　对数、算尺与算图 46

用尺子算加减法 46

尺子也能做乘除法 47

对数的发现 48

形形色色的算图 51

第六章　恒等式与方程 54

等式不一定真的相等 54

千变万化的0 55

鸡兔同笼与二元一次方程 56

用消元法解多元一次方程组 58

用二元一次方程解一元二次方程 59

卡丹公式的故事 60

两位早逝的天才——阿贝尔与伽罗瓦 62

求代数方程根的数值方法 65

地下水管的检修与方程求根 67

恢复原状代数基本定理与数学王子高斯 68

贾宪三角 70

小高斯的算法 71

推垛计算与高阶等差数列求和 72

废钢铁回收与等比数列求和 73

恒等式能举例证明吗？ 75

第七章　不等式与近似计算 77

近似与精确 77

不等式的妙用 78

不等式与连分数 79

连分数与闰年 84

定位 85

洗衣服与平均不等式 87

平均不等式种种 90

第八章　几个重要的数 94

圆周率π 94

复利计算与自然对数的底e 98

奇妙的黄金数——φ 100

第九章　不定方程与同余式 104

百钱买百鸡 104

元旦是星期几——同余式 105

韩信点兵与中国剩余定理 106

中国剩余定理帮助电脑 108

勾股数 113

费尔玛大定理——会生金蛋的鸡 114

第十章　集合的概念与运算 117

集合——无所不在的角色 117

“白马非马”与“不能吃水果” 118

集合的并——1＋1≠2 119

集合的交——花生米上的球面曲线 120

笛卡儿积——扑克牌与电影票 121

屈指可数是多少？——有限集的子集 123

包含与排除的公式（容斥原理） 124

补集与对偶律——库存与消耗 126

第十一章　关系、映射与等价 128

什么是关系 128

关系和图 129

有序和无序 132

映射与分类 136

抽屉原则 137

拉姆赛理论 138

第十二章　无穷集的奥秘 140

伽里略的难题与康托的回答 140

希尔伯脱的旅店 141

分数排队 142

实数比有理数多 143

一截线段上的点和整个空间的点一样多 144

第十三章　逻辑与推理 147

命题——不是错的，就是对的 147

只有0与1的算术和代数 148

推理的法则 150

逻辑代数与开关电路 152

第十四章　变量与函数 154

变量和常量 154

函数概念——算得出与算不出 155

长度、面积与体积 157

一个孩子怎能拉住一头牛 158

振动与波 160

正弦函数面面观 161

初等函数类 163

表示函数的方法 164

函数的脾气 166

第十五章　极限与连续性 168

无穷小之谜 168

捕捉无穷小——严格定义它 169

数列的极限 171

函数的极限 173

你为什么认识你的朋友——函数连续性 175

连续函数的介值定理 176

两块蛋糕的平分问题 178

第十六章　微分及其应用 180

飞矢不动与瞬时速度 180

切线的奥妙——一个点怎样决定直线 182

节约的数学与导数 184

求函数导数的方法 187

函数值的计算——台劳公式 189

第十七章　积分及其应用 191

面积之谜 191

抛物线下的面积 192

从割圆术到不可分量 194

定积分——用极限概念代替不可分量 196

体积的计算与祖暅原理 198

圆锥的体积 200

牛顿——莱布尼兹公式 201

求体积的万能公式——拟柱体公式 203

第十八章　直尺和圆规 207

理想化了的作图规则 207

规尺作图不可能问题之一——立方倍积 209

用蔓叶线解立方倍积问题 211

规尺作图不可能问题之二——三等分角 214

用蚌线解决三等分角问题 216

规尺作图不可能问题之三——圆代方 218

圆规直尺能干什么？ 220

等分圆周与正多边形作图 222

规尺作图的限制与推广 224

单规作图 225

生锈的圆规 230

第十九章　数学推理的常用方法 242

构造法——百闻不如一见 242

反证法——以子之矛，陷子之盾 244

数学归纳法——顺藤摸瓜由近及远 246

枚举法——尽拙七十二疑 250

相似法——按图索马骥，了如指掌 252

第二十章　形形色色的悖论 255

毕达哥拉斯悖论 255

芝诺悖论 256

伽里悖论 256

公孙龙悖论 256

先有鸡还是先有蛋 257

贝克莱悖论 258

秃头悖论 259

说谎者悖论 260

理发师悖论 261

预言家悖论 263

理查德悖论 264

意外的考试 264

第二十一章　概率与统计 266

概率与统计 266

抛掷硬币的游戏——如何寻找概率 267

新弹坑与旧弹坑——独立事件 269

“碰运气”的骗局——随机变量与数学期望 271

为什么答案不同——条件概率 273

关于弦长的概率怪论 276

事件空间与概率的公理化定义 277

平均年龄的笑话 280

苹果的味道如何——抽样检验 281

池塘里有多少鱼？ 283

“中立原理”的谬误 284

概率论与情报 286

秘书问题——停止规则 287

保险数学 289

第二十二章　密码学 291

什么是密码？ 291

密码方案 292

破译密码 294

公钥密码 297

同余类 305

单向函数 310

RSA体制 314