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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、集合 1

二、一元函数的定义 3

三、函数的几种特性 5

四、反函数 7

习题1-1 7

第二节 初等函数 8

一、基本初等函数 8

二、复合函数 11

三、初等函数 12

四、双曲函数 12

习题1-2 13

第三节 数列的极限 14

一、数列 14

二、数列极限的定义 16

三、数列收敛的充分条件与性质 17

习题1-3 19

第四节 函数的极限 19

一、自变量趋向无穷大时函数的极限 19

二、自变量趋向有限值时函数的极限 21

三、函数极限的性质 22

习题1-4 24

第五节 无穷小与无穷大 24

一、无穷小 24

二、无穷大 25

习题1-5 26

第六节 极限运算法则 26

习题1-6 30

第七节 两个重要极限 31

一、重要极限lim x→0 sinx/x=1 31

二、重要极限lim x→+∞ (1+1/x)x=e 33

习题1-7 34

第八节 无穷小的比较 35

习题1-8 36

第九节 极限的精确定义 36

一、数列极限的精确定义 36

二、函数极限的精确定义 38

三、无穷小与无穷大的精确定义 40

四、极限的一些基本定理的证明 41

习题1-9 45

第十节 函数的连续性 46

一、函数连续的定义 46

二、函数的间断点 48

习题1-10 49

第十一节 连续函数的运算与初等函数的连续性 50

一、连续函数的和、积及商的连续性 50

二、反函数与复合函数的连续性 50

三、初等函数的连续性 51

习题1-11 52

第十二节 闭区间上连续函数的性质 52

一、最大值和最小值定理 52

二、介值定理 53

习题1-12 54

复习题一 54

第二章 导数与微分 58

第一节 导数概念 58

一、引例 58

二、导数的定义 60

三、求导数举例 61

四、函数的可导性与连续性之间的关系 63

五、导数的几何意义 64

习题2-1 64

第二节 函数的求导法则 65

一、函数的和、差、积、商的求导法则 65

二、反函数的求导法则 68

三、复合函数的导数 69

习题2-2 72

第三节 高阶导数 73

习题2-3 76

第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 76

一、隐函数的导数 76

二、对数求导法 78

三、由参数方程所确定的函数的导数 79

四、相关变化率 81

习题2-4 82

第五节 函数的微分 83

一、微分的概念 83

二、微分的运算公式 85

三、微分在近似计算中的应用 87

习题2-5 87

第六节 微元 88

复习题二 91

第三章 中值定理与导数的应用 94

第一节 中值定理 94

一、费马定理 94

二、罗尔定理 95

三、拉格朗日中值定理 96

四、柯西中值定理 98

习题3-1 98

第二节 罗必塔法则 99

习题3-2 103

第三节 泰勒中值定理 104

习题3-3 107

第四节 函数单调性判别法 107

习题3-4 109

第五节 函数的极值与最值 109

一、函数的极值及其求法 109

二、函数的最值及其求法 111

习题3-5 114

第六节 曲线的凹凸性与拐点 114

习题3-6 116

第七节 函数作图 117

习题3-7 119

第八节 曲线的曲率 119

一、曲率概念 119

二、曲率圆与曲率半径 121

习题3-8 122

第九节 方程的近似解 123

一、二分法 123

二、牛顿法 124

复习题三 125

第四章 不定积分 128

第一节 不定积分的概念和性质 128

一、原函数与不定积分的概念 128

二、不定积分的性质 130

三、不定积分的基本公式 131

习题4-1 133

第二节 换元积分法 133

一、第一类换元法 133

二、第二类换元法 136

习题4-2 140

第三节 分部积分法 141

习题4-3 144

第四节 几种特殊类型函数的积分 144

一、有理函数的积分 144

二、三角函数有理式的积分 146

三、简单无理函数的积分举例 147

习题4-4 148

复习题四 149

第五章 定积分 151

第一节 定积分概念 151

一、引例 151

二、定积分定义 153

习题5-1 156

第二节 定积分的性质 156

习题5-2 159

第三节 微积分基本公式 159

习题5-3 164

第四节 定积分的换元法与分部积分法 164

一、定积分的换元法 164

二、定积分的分部积分法 168

习题5-4 169

第五节 广义积分初步 170

一、积分区间为无穷的广义积分 170

二、无界函数的广义积分 172

习题5-5 174

第六节 定积分的近似计算 174

一、梯形方法 174

二、抛物线方法 175

复习题五 177

第六章 定积分的应用 181

第一节 平面图形的面积 181

一、直角坐标情形 181

二、极坐标情形 183

习题6-1 184

第二节 体积 185

一、旋转体的体积 185

二、平行截面面积为已知的立体的体积 186

习题6-2 188

第三节 平面曲线的弧长 188

一、直角坐标情形 188

二、参数方程情形 189

三、极坐标方程情形 190

习题6-3 191

第四节 定积分的其他应用 191

一、物理中的应用 191

二、工程中的应用 193

三、经济管理中的应用 195

习题6-4 196

复习题六 197

第七章 常微分方程 199

第一节 微分方程的基本概念 199

习题7-1 202

第二节 可分离变量的微分方程 202

习题7-2 204

第三节 齐次方程 205

习题7-3 207

第四节 一阶线性方程 207

一、一阶线性微分方程 207

二、贝努利（Bernoulli）方程 211

习题7-4 212

第五节 可降阶的高阶微分方程 213

一、y(n)=f（x）型的微分方程 213

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 213

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 214

习题7-5 216

第六节 高阶线性微分方程及其解的结构 216

习题7-6 218

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 219

习题7-7 222

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 222

一、f(x)=Pm(x)eλx型 222

二、f(x)=eλx［Pl(x)cos ωx+Pn(x)sin ωx］型 224

习题7-8 226

第九节 欧拉方程 226

习题7-9 228

第十节 常系数线性微分方程组 228

习题7-10 230

第十一节 微分方程应用举例 230

习题7-11 236

复习题七 237

第八章 向量代数与空间解析几何 240

第一节 空间直角坐标系 240

一、空间直角坐标系及点的坐标 240

二、两点间的距离公式 241

习题8-1 242

第二节 向量及其运算 242

一、向量的概念 242

二、向量的线性运算 243

三、向量的数量积 247

四、向量的向量积 248

习题8-2 250

第三节 平面方程 251

习题8-3 253

第四节 空间直线的方程 253

一、空间直线的一般方程 253

二、空间直线的对称式方程与参数方程 254

三、两直线的夹角 255

四、直线与平面的夹角 256

习题8-4 256

第五节 曲面及其方程 257

一、曲面与方程 257

二、母线平行于坐标轴的柱面 258

三、旋转曲面与二次曲面 259

习题8-5 262

第六节 空间曲线的参数方程 投影柱面 262

一、空间曲线的一般方程 262

二、空间曲线的参数方程 263

三、空间曲线在坐标面上的投影 264

习题8-6 265

复习题八 266

第九章 多元函数微分法及其应用 269

第一节 多元函数的基本概念 269

一、平面区域的概念 269

二、n维空间的概念 270

三、多元函数的概念 270

四、二元函数的极限 272

五、二元函数的连续性 273

习题9-1 274

第二节 偏导数 275

一、偏导数的概念及计算 275

二、高阶偏导数 277

习题9-2 279

第三节 全微分 279

习题9-3 281

第四节 多元复合函数的求导法则 282

习题9-4 286

第五节 隐函数的求导公式 287

一、一个方程确定的隐函数 287

二、由方程组确定的隐函数 289

习题9-5 290

第六节 多元微分学在几何上的应用 290

一、空间曲线的切线和法平面 290

二、曲面的切平面与法线 293

习题9-6 294

第七节 方向导数与梯度 295

一、方向导数的概念及计算 295

二、梯度 297

习题9-7 299

第八节 多元函数的极值与最值 299

一、极值与最值 299

二、条件极值 301

习题9-8 304

复习题九 305

第十章 重积分 308

第一节 二重积分的概念与性质 308

一、二重积分的概念 308

二、二重积分的性质 311

习题10-1 312

第二节 二重积分的计算法 313

一、利用直角坐标计算二重积分 313

二、利用极坐标计算二重积分 318

习题10-2 321

第三节 二重积分的应用 323

一、曲面的面积 323

二、平面薄片的重心 325

三、平面薄片的转动惯量 326

习题10-3 326

第四节 三重积分 327

一、三重积分的概念 327

二、三重积分的计算 328

三、三重积分的应用 333

习题10-4 334

复习题十 335

第十一章 曲线积分与曲面积分 339

第一节 对弧长的曲线积分 339

一、对弧长曲线积分的概念 339

二、对弧长曲线积分的计算 341

习题11-1 343

第二节 对坐标的曲线积分 344

一、对坐标曲线积分的概念 344

二、对坐标曲线积分的计算 347

三、两类曲线积分之间的关系 350

习题11-2 350

第三节 格林公式及其应用 351

一、格林公式 351

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 355

习题11-3 359

第四节 对面积的曲面积分 359

一、对面积的曲面积分的概念 360

二、对面积的曲面积分的计算 361

习题11-4 362

第五节 对坐标的曲面积分 362

一、对坐标的曲面积分的概念 362

二、对坐标的曲面积分的计算 367

习题11-5 369

第六节 高斯公式 通量与散度 370

一、高斯公式 370

二、通量与散度 372

习题11-6 374

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 374

一、斯托克斯公式 374

二、环流量与旋度 376

习题11-7 378

复习题十一 378

第十二章 级数 382

第一节 常数项级数的基本概念和性质 382

一、常数项级数的基本概念 382

二、级数的基本性质 385

习题12-1 386

第二节 常数项级数敛散性的判别法 386

一、正项级数及其敛散性判别法 386

二、交错级数及其敛散性判别法 391

三、绝对收敛与条件收敛 392

习题12-2 393

第三节 幂级数 394

一、函数项级数的一般概念 394

二、幂级数及其收敛性 395

三、幂级数的运算 399

习题12-3 401

第四节 函数展开成幂级数 402

习题12-4 406

第五节 函数的幂级数展开式的应用 407

一、函数值的近似计算 407

二、计算定积分 407

三、欧拉公式 408

习题12-5 408

第六节 傅里叶级数 409

一、周期为2π的周期函数的傅里叶级数 409

二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 415

习题12-6 416

复习题十二 416

附录 420

附录A 数学软件介绍 420

第一节 MATLAB软件使用简介 421

一、基本操作 421

二、基本运算 423

三、函数作图 425

四、符号微积分 427

第二节 Mathematica软件使用简介 430

一、基本操作 430

二、基本运算 432

三、二维图形 433

四、Mathematica在微积分中的应用 433

附录B 二阶和三阶行列式简介 437

附录C 极坐标简介 439

附录D 部分习题参考答案与提示 443

参考文献 477