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第一章 函数的极限和连续 1

1 基本内容之一 函数极限的概念 1

一、极限概述 1

二、极限的“ε—δ”定义 4

三、极限方法的特点 6

2 基本内容之二 极限的求法 9

一、五种常见的求极限的方法 9

二、几个值得注意的问题 15

3 基本内容之三 函数的连续性 17

一、函数连续性的概念 17

二、连续与极限的关系、间断点的分类 18

三、初等函数的连续性与闭区间上连续函数的性质 22

4 难点分析 如何按定义证明极限 24

一、证明的思路和步骤 24

二、证题举例 26

三、常见错误分析 28

5 典型题解 30

一、极限的概念和计算 30

二、连续性的讨论和应用 35

6 理论探讨 40

一、复合函数极限定理的推广 40

二、幂指函数求极限问题 44

三、关于求极限过程中的等价无穷小代换 47

思考题与测验题（一） 47

第二章 一元函数微分学 51

1 基本内容之一 微分学的主要概念——导数和微分 51

一、关于导数概念的理解 51

二、微分的地位和应用 54

三、高阶导数与相关变化率 57

2 基本内容之二 导数与微分的计算 59

一、基本方法 59

二、小结 68

3 基本内容之三 中值定理和导数的应用 69

一、中值定理 69

二、罗必塔法则 70

三、函数的单调性、极值与最大最小值问题 71

四、曲线的凹凸性与拐点，函数图形的描绘 75

五、曲率、方程的近似解 76

4 难点分析 77

一、正确运用复合函数求导法 77

二、中值定理证题分析 81

5 典型题解 85

一、导数的概念和计算 85

二、中值定理及其应用 88

三、罗必塔法则 91

四、函数性态的研究 94

6 理论探讨 97

一、最值问题的一点解释 97

二、关于泰勒公式余项的估计 98

三、如何利用导数求函数的单调区间 99

四、取对数后求导数，结果怎样 101

思考题与测验题（二） 102

第三章 一元函数积分学 109

1 基本内容之一 积分学的基本概念和思想方法 109

一、原函数与不定积分 109

二、定积分 111

三、定积分的推广——两种广义积分 115

2 基本内容之二 积分方法概要 117

一、两类积分的桥梁：牛顿——莱布尼兹公式 117

二、不定积分的基本思路和方法 119

三、定积分的计算问题 122

3 基本内容之三 定积分的应用 125

一、所求量U能用定积分表示的条件 125

二、用定积分表示量U的常用方法——元素法 126

三、应用元素法建立定积分的几个例子 127

四、定积分在几何、物理问题中的常用公式 131

4 难点分析 怎样学习不定积分 133

一、不定积分的根本原理：微分法的逆运算 134

二、应用积分公式是不定积分的主要方法 135

三、改变被积函数的形式使之与公式相符，是所有不定积分法的共同特征 135

四、常用积分法的基本要领 137

五、积分法的综合运用 143

5 典型题解 145

一、不定积分法 145

二、定积分的计算、概念与证明 149

三、定积分的应用 156

四、广义积分 161

6 理论探讨 163

一、定积分换元条件的讨论 163

二、元素法中的几个问题 166

三、无界函数积分的特殊情况 170

思考题与测验题（三） 172

第四章 空间解析几何 177

1 基本内容之一 向量代数 177

一、空间直角坐标系与向量的基本概念 177

二、向量的初等运算 180

三、向量的乘积 183

2 基本内容之二 空间的平面与直线 185

一、空间图形一般方程的概念 186

二、平面及其方程 187

三、空间直线及其方程 190

3 基本内容之三 空间的曲面与曲线 194

一、球面、柱面、锥面与一般旋转曲面 194

二、空间曲线及其在坐标面上的投影 197

三、一般二次曲面 200

4 难点分析 205

一、怎样用向量方法解几何问题 205

二、建立空间图形方程的方法 209

三、空间图形的描绘 213

5 典型题解 219

一、向量概念与运算 219

二、平面与直线的方程 224

三、曲线与曲面 229

6 理论探讨 235

一、定比分点中λ≠-1的解释 235

二、平面束方程的扩充 237

三、关于旋转曲面方程求法 240

思考题与测验题（四） 242

第五章 多元函数微分学 247

1 基本内容之一 多元函数的基本概念 247

一、多元函数 247

二、多元函数的极限 249

三、多元函数的连续性 254

2 基本内容之二 多元函数的微分法 256

一、偏导数和全微分的概念与求法 256

二、多元复合函数求导法则 259

三、隐函数求导法 262

3 基本内容之三 多元函数微分法的应用 265

一、几何应用 265

二、函数在点P沿某一方向变化率的研究 269

三、多元函数的多项式逼近与近似计算 273

四、二元函数的极值与最值问题 275

4 难点分析 278

一、多元复合函数的高阶偏导数 280

二、隐函数的高阶偏导数 282

三、综合求导问题 285

四、变量替换与偏导数形式的转换 287

5 典型题解 290

一、多元函数基本概念 290

二、多元函数微分法 292

三、多元函数微分学的应用 298

6 理论探讨 303

一、多元复合函数的极限问题 303

二、多元函数微分的叠加原理 305

三、条件极值问题与拉格朗日乘数法 307

四、曲面上一点处的法向量看作切向量的向量积 310

思考题与测验题（五） 311

第六章 多元函数积分学 316

1 基本内容之一 重积分 316

一、重积分的概念和性质 316

二、重积分的计算 317

三、重积分的应用 327

2 基本内容之二 曲线积分与曲面积分 328

一、曲线积分 328

二、曲面积分 335

三、多元函数积分的比较 340

3 基本内容之三 三个转换公式及其应用 341

一、三个转换公式与直接应用 341

二、对积分与路径无关性的研究和应用 347

三、公式的物理意义 352

4 难点分析 多元函数积分的定限原理 354

5 典型题解 363

一、重积分部分 363

二、曲线、曲面积分部分 375

6 理论探讨 383

一、区域对称性及函数奇偶性的有关概念 383

二、利用对称性简化积分的基本命题 386

三、对称性在积分中的应用举例 396

思考题与测验题（六） 398

第七章 无穷级数 406

1 基本内容之一 常数项无穷级数 406

一、常数项级数收敛与发散的概念 406

二、正项级数的审敛法 410

三、任意项级数的敛散性 412

2 基本内容之二 幂级数 415

一、函数项级数的一般概念 415

二、幂级数的收敛性与函数展开成幂级数 418

3 基本内容之三 付立叶级数 423

一、付立叶级数及其收敛性 424

二、函数展开成付立叶级数 425

4 难点分析 429

一、应用常数项级数审敛法的一般原则 429

二、幂级数分析运算应用举例 437

5 典型题解 443

一、常数项级数部分 443

二、幂级数部分 449

三、付立叶级数部分 457

6 理论探讨 465

一、莱布尼兹审敛法中un≥un+1作用的分析 465

二、函数的周期延拓和奇（偶）延拓 468

思考题与测验题（七） 474

第八章 常微分方程 480

1 基本内容之一 微分方程的基本概念和初等积分法 480

一、微分方程和微分方程的解 480

二、初等积分法 482

2 基本内容之二 线性方程与方程组及方程的幂级数解法 490

一、线性微分方程解的结构 490

二、二阶常系数线性微分方程 493

三、常系数线性微分方程组的解法 494

四、幂级数解法 496

3 基本内容之三 微分方程的应用问题 497

一、几何问题 498

二、化学问题 499

三、电学问题 500

四、力学问题 500

五、能量守恒问题 501

六、战斗动态描述——兰切斯特方程 502

七、物体冷却速度 503

八、万有引力与行星运动 504

4 难点分析 505

一、积分因子公式及应用 505

二、求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解要注意的几个问题 511

三、应用问题的建模方法示例 517

5 典型题解 525

一、初等积分法 525

二、二阶线性微分方程 532

三、方程组解法和幂级数解法 535

6 理论探讨 540

一、用待定系数法解常系数非齐次线性微分方程，设特解时为什么不能缺项 540

二、兰切斯特方程的解及其状态方程的讨论 546

思考题与测验题（八） 550

各学期课终模拟试题 554

附录 思考题、测试题及课终模拟试题解答 567

参考文献 606