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第一部分 高等数学 1

第一章 函数 1

第一节 函数的有关概念和几种特性 1

第二节 分段函数与积分上限的函数 5

第二章 极限 连续 求极限的方法 9

第一节 极限的概念与性质 9

一、定义 9

二、基本性质 10

三、与极限的不等式性质有关的若干问题 11

第二节 极限的存在与不存在问题 11

一、数列xn敛散性的判别 11

二、函数y＝f（x）的极限的存在与不存在问题 12

三、证明多元函数z = f （x, y）极限不存在的问题 13

第三节 无穷小量和它的阶 14

一、无穷小量 极限 无穷大量 14

二、无穷小量的阶 15

三、无穷小量阶的运算性质 15

四、等价无穷小量的重要性质 16

五、确定无穷小量阶的方法 16

第四节 求极限的方法 18

一、极限的四则运算与幂指数运算法则 18

二、用洛必达法则求未定式的极限 20

三、利用函数的连续性求极限 22

四、利用变量替换法与两个重要极限求极限 23

五、利用适当放大缩小法求极限 24

六、利用函数极限求数列极限 26

七、递归数列的极限 27

八、利用定积分求某些和式的极限 30

九、利用泰勒公式求未定式的极限 31

十、用数值级数求和法求某些数列的极限 33

十一、分别求左、右极限 33

十二、求二元函数的极限 33

第五节 函数的连续性及其判断 34

一、连续性概念 34

二、间断点的定义与分类 34

三、连续性运算法则 34

四、怎样判断函数的连续性 34

五、二元函数的连续性 36

第三章 导数 微分法 37

第一节 导数的概念 37

一、导数的定义及函数的连续性 37

二、用导数求某些函数的极限 38

第二节 微分法则 39

一、内容提要 39

二、分段函数的情形 42

三、变限积分的情形 46

第三节 隐函数以及参数方程表示的函数的微分法 48

一、隐函数的微分法 48

二、由参数方程表达的函数微分法 49

第四节 某些简单函数的n阶导数 52

一、应用分解法或归纳法求n阶导数（公式） 52

二、莱布尼茨公式 53

三、利用幂级数展式求导 54

第五节 导数的几何意义和物理意义 平面曲线的切线与法线 54

一、导数的几何意义 平面曲线的切线与法线 54

二、平面上两相交曲线之间的夹角 56

三、导数的物理意义 57

第六节 微分的概念及一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的作用 58

一、微分概念及一阶微分形式的不变性 58

二、用微分作近似计算 60

第七节 多元函数的偏导数与全微分概念 60

一、内容提要 60

二、用定义求偏导数 62

第八节 复合函数偏导数的求法 63

第九节 多元隐函数的微分法 67

第十节 求全微分及全微分在近似计算中的应用 70

一、多元函数全微分计算 70

二、近似计算 73

第十一节 方向导数 梯度 74

一、方向导数 74

二、梯度 76

第十二节 多元函数极值 77

第四章 闭区间上连续函数的性质微分学的中值定理及其应用 86

第一节 闭区间上连续函数的性质及其应用 86

第二节 微分学中值定理的内容提要 87

第三节 用微分学中值定理进行函数性态研究的内容提要 88

一、函数的单调性 88

二、函数的极值 88

三、函数的最大值、最小值 88

四、函数图形的凹凸性和拐点 89

五、曲线的渐近线 90

六、函数图形的描绘 90

七、二元函数的二阶泰勒公式 90

第四节 微分学中值定理的应用题型 91

一、函数单调性的讨论 91

二、曲线凹凸性的讨论 92

三、不等式的证明 93

四、讨论极值和最值问题 97

五、中值命题的证明 99

六、方程根的讨论 104

七、证明函数恒等常数 106

八、描绘函数图形并利用图形作辅助工具解决有关问题 107

第五章 一元积分学 109

第一节 不定积分的内容提要 109

一、原函数与不定积分的概念 109

二、不定积分的基本性质 109

三、求不定积分的基本公式 110

四、求不定积分的基本方法 110

第二节 定积分的内容提要 119

一、定积分的概念和性质 定积分中值定理 120

二、微积分基本定理 牛顿-莱布尼茨公式 121

三、定积分的换元法 122

四、定积分的分部积分法 122

五、定积分的近似计算法 122

第三节 广义积分内容提要 123

一、无穷区间上的广义积分（无穷积分） 123

二、无界函数的广义积分（瑕积分） 124

第四节 定积分的计算 124

一、计算定积分的基本方法 124

二、分段函数（包括带绝对值符号的函数）的定积分计算 128

三、含参数的定积分计算 129

第五节 广义积分的计算 130

第六节 定积分证明题 132

一、定积分等式的证明 132

二、定积分不等式的证明 135

三、定积分中值命题的证明 139

四、从定积分的信息提取被积函数的信息 140

第七节 变限定积分与原函数 141

一、周期函数与奇、偶函数的变限定积分 141

二、原函数的微分形式d∫f（x）dx=f（x）dx的应用 143

三、变限定积分的求导法则及其应用 143

四、利用度限定积分证明积分等式与不等式 145

第六章　向量代数与空间解析几何 145

第一节 向量代数的内容提要 145

一、向量概念 146

二、向量的线性运算 146

三、向量的数量积、向量积和混合积 146

四、向量运算的坐标表示 147

五、向量代数的基本题型 147

第二节 空间解析几何的内容提要 148

一、直线、平面和曲面 148

二、母线平行于坐标轴的柱面方程及空间曲线在坐标平面上的投影 149

三、关于平面束的定义及定理 150

第三节 空间解析几何的基本题型 150

一、求直线与直线、直线与平面、平面与平面间的夹角或讨论平行、垂直和相交关系 150

二、建立直线、平面、旋转曲面的方程 151

三、求点到直线、点到平面及异面直线的距离 157

四、与多元函数微分学联系的综合题 159

第七章 多元函数积分的概念与计算 160

第一节多元函数积分的概念 161

一、多元积分的定义、几何意义或物理意义 161

二、两类曲线积分之间的关系两类曲面积分之间的关系 165

第二节…多元函数积分的存在性与性质 166

一、多元函数积分的存在性 166

二、多元函数积分的性质 166

第三节 多元函数积分的计算 171

一、在直角坐标系中怎样把多元函数积分化为定积分 171

二、重积分的变量替换 179

三、怎样应用多元函数积分计算公式及怎样简化多元函数积分的计算 186

第八章 多元函数积分学中的基本公式及其应用 195

第一节 多元函数积分学中的基本公式 195

一、向量场的通量与散度及高斯公式 195

二、向量场的环量与旋度及斯托克斯公式 197

三、格林公式 198

四、向量场的散度与旋度的计算 199

第二节 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式的一个应用—简化多元函数积分的计算 201

一、应用格林公式计算曲线积分 201

二、应用高斯公式计算曲面积分 203

三、应用斯托克斯公式计算曲线积分 206

第三节 平面上曲线积分与路径无关问题 207

一、？与路径无关时的特征 207

二、怎样判断曲线积分？是否与路径无关 209

三、积分与路径无关时如何求？及求原函数的方法 210

第九章 微积分的应用 212

第一节 微分学的某些应用 213

一、弧微分、曲率和曲率半径 213

二、求方程近似解的切线法与二分法 215

三、空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线 217

第二节 积分的应用 222

一、微元法 222

二、定积分的几何应用 223

三、定积分的物理应用 232

四、重积分、曲线积分和曲面积分的某些应用 235

第三节 最大值与最小值应用问题 243

第十章 无穷级数 249

第一节 常数项级数？的一般事项 251

一、？收敛、和、发散的概念及基本性质 251

二、用差消法、夹逼法求某些级数的和 252

三、用必要条件判别级数的发散性 253

四、用基本性质判别级数的收敛性 253

第二节 正项级数的审敛法 254

一、估计部分和有界法 254

二、不同通项比较法 255

三、比值审敛法 256

四、根值判别法 257

第三节交错级数 257

第四节级数的绝对收敛与条件收敛 259

第五节 函数项级数 幂级数 261

一、基本概念 261

二、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛区域 261

三、幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 266

第六节 泰勒级数 270

一、内容提要 270

二、初等函数的幂级数展开式 271

三、幂级数在近似计算中的应用 273

第七节 傅里叶级数 275

一、内容提要 275

二、求函数的傅里叶系数与傅里叶级数展式 278

三、计算傅里叶级数在特定点上的值 280

第十一章 常微分方程 282

第一节 基本概念 282

第二节 一阶微分方程 284

一、变量可分离的方程与齐次方程 284

二、一阶线性方程 289

三、伯努利方程 293

四、全微分方程 293

五、可用简单的变量代换求解的某些微分方程 295

第三节 可降阶的高阶微分方程 297

一、？型的微分方程 297

二、？型的微分方程 298

三、？型的微分方程 300

第四节 高阶线性微分方程 301

一、线性方程解的性质和通解的结构 301

二、二阶常系数齐次线性微分方程 304

三、二阶常系数非齐次线性微分方程 307

四、包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组 313

五、欧拉方程 315

六、微分方程幂级数解法简介 316

第五节 微分方程（或方程组）的简单应用问题 318

第二部分 线性代数 325

第一章 行列式 325

第一节 行列式的概念 325

第二节 行列式的性质 327

第三节 行列式按行（或列）的展开公式 330

第四节 分块行列式 范德蒙德行列式 332

一、分块行列式 332

二、范德蒙德行列式 334

第五节行列式的计算 334

第二章 矩阵 336

第一节 矩阵的概念及运算 336

一、矩阵的概念 336

二、矩阵的运算 336

三、几类特殊的矩阵 341

第二节 逆矩阵与伴随矩阵 343

一、可逆矩阵的概念与性质 343

二、伴随矩阵 345

第三节 初等变换与初等矩阵 348

一、概念与性质 348

二、利用初等行变换求逆矩阵 350

三、利用初等行变换解矩阵方程 352

第四节 矩阵的分块运算 356

第三章 向量 357

第一节向量组的线性关系 357

一、向量的基本概念 357

二、向量的线性运算 358

三、线性组合与线性表示 359

四、向量组的线性相关与线性无关 361

第二节 向量组的极大无关组与秩 矩阵的秩 367

一、向量组的极大无关组与秩 367

二、矩阵的秩 369

三、秩的计算 372

第三节 向量的内积运算 375

一、内积的定义及性质 375

二、正交矩阵 376

三、施密特正交化 377

第四节 向量空间 379

一、n维向量空间及其子空间 379

二、基、维数与坐标 380

三、基变换、过渡矩阵和坐标变换 380

第四章 线性方程组 381

第一节 概念与基本性质 381

一、基本概念 381

二、线性方程组解的性质 382

三、线性方程组解的情况的判别 382

四、克拉默法则 383

第二节 齐次线性方程组Ax = O 384

一、基础解系和通解 384

二、基础解系的求法 385

第三节 非齐次线性方程组Ax = β 389

一、通解的结构 389

二、通解的求法 390

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量 n阶矩阵的相似关系和对角化 394

第一节 特征向量与特征值 394

一、定义与性质 394

二、特征多项式 397

三、特征值与特征向量的计算 399

第二节 n阶矩阵的相似关系与对角化 402

一、n阶矩阵的相似关系 402

二、n阶矩阵的对角化问题 403

第三节 实对称矩阵的对角化 408

第六章 二次型 412

第一节 二次型及其矩阵 412

一、二次型的定义 412

二、可逆线性变换替换 413

三、n阶矩阵的合同关系 414

第二节 二次型的标准化和规范化 惯性指数 414

一、惯性指数 414

二、标准化和规范化的方法 414

三、惯性指数与特征值的关系 419

第三节 正定二次型与正定矩阵 420

一、定义与基本性质 420

二、正定性的判别 420

第三部分 概率论与数理统计初步 424

第一章 概率论 424

第一节 事件和概率 424

一、最基本的概念 424

二、事件的关系和运算 424

三、概率的重要概念 425

四、计算概率的主要公式 425

五、解题指南 426

六、综合题 427

第二节 随机变量 431

一、随机变量及其分类 431

二、离散型随机变量 431

三、连续型随机变量 433

四、综合题 435

第三节 随机向量 438

一、随机向量的基本概念 438

二、离散型随机向量 439

三、连续型随机向量 440

四、综合题 443

第四节 概率补遗 449

一、正态随机向量的几个定理 449

二、X2分布、t分布和F分布 450

三、切比雪夫不等式和弱大数定律 451

四、中心极限定理 452

第二章 数理统计 453

第一节 数理统计的基本概念 453

一、总体与样本 453

二、统计量 453

三、正态总体某些统计量的分布 454

第二节 参数估计 454

一、点估计 454

二、区间估计 457

第三节 假设检验 459

一、假设检验的基本点 459

二、单个正态总体？的假设检验 459

三、两个独立正态总体？的假设检验 461

四、总体分布假设的X2检验 461

第四节 分布函数的分位数 462

第三章 综合练习 462