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上册 1

第一章　函数与极限 1

1-1　初等函数 1

一、邻域的概念 1

二、初等函数 1

三、建立函数关系举例 4

四、双曲函数 6

习题1-1 7

1-2　函数的极限 8

一、当x→∞时，函数f（x）的极限 8

二、当x→x0时，函数f（x）的极限 11

三、x→x0时，函数f（x）的左、右极限 12

四、函数极限的性质 14

习题1-2 14

1-3　极限运算法则 14

习题1-3 16

1-4　无穷小与无穷大 17

一、无穷小 17

二、无穷大 18

习题1-4 20

1-5　两个重要极限 20

习题1-5 25

1-6　无穷小的比较 25

习题1-6 28

1-7　初等函数的连续性 28

一、函数的增量 29

二、函数连续性的概念 29

三、函数的间断点 31

四、初等函数的连续性 33

五、闭区间上连续函数的性质 34

习题1-7 35

第二章　导数与微分 37

2-1　导数的概念 37

一、变化率问题举例 37

二、导数的定义 38

三、求导数举例 40

四、导数的几何意义 42

五、可导与连续的关系 43

习题2-1 44

2-2　求导法则 45

一、导数的四则运算法则 45

二、反函数的导数 48

三、复合函数的导数 50

习题2-2 51

2-3　初等函数的求导问题 52

一、常数和基本初等函数的导数公式 52

二、函数和、差、积、商的求导法则 53

三、复合函数求导法则 53

四、双曲函数的导数 53

习题2-3 55

2-4　高阶导数 55

一、高阶导数 55

二、n阶导数公式 56

习题2-4 58

2-5　隐函数及由参数方程所确定的数的导数 59

一、隐函数的导数 59

二、由参数方程所确定的函数的导数 60

习题2-5 61

2-6　函数的微分 62

一、微分的定义 62

二、微分的几何意义 65

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 65

习题2-6 67

2-7　微分在近似计算上的应用 68

习题2-7 70

第三章　微分中值定理与导数的应用 71

3-1　微分中值定理 71

一、罗尔定理 71

二、拉格朗日中值定理 73

三、柯西中值定理 77

习题3-1 78

3-2　罗必塔法则 78

一、0/0型未定式 79

二、∞/∞型未定式 81

三、其他未定式 82

习题3-2 85

3-3　函数单调性的判定方法 86

习题3-3 89

3-4　函数的极值及其求法 90

一、函数极值的定义 90

二、函数极值的求法 91

习题3-4 95

3-5　函数的最大值和最小值的求法 95

习题3-5 99

3-6　曲率 100

一、弧的微分 101

二、曲率及其计算公式 102

三、曲率圆与曲率半径 106

习题3-6 108

第四章　不定积分 109

4-1　不定积分的概念和性质 109

一、原函数和不定积分的概念 109

二、不定积分的性质 111

三、基本积分公式 112

习题4-1 114

4-2　换元积分法 115

一、第一类换元积分法 115

二、第二类换元积分法 120

习题4-2 125

4-3　分部积分法 127

习题4-3 130

4-4　简单有理函数的积分 130

一、简单有理函数的积分 130

二、三角函数有理式的积分 133

三、积分表的使用 134

习题4-4 137

第五章　定积分及其应用 138

5-1　定积分的定义及其性质 138

一、引例 138

二、定积分的定义 141

三、定积分的几何意义 143

四、定积分的基本性质 145

习题5-1 148

5-2　定积分的计算 149

一、积分上限的函数及其导数 149

二、牛顿-莱布尼兹公式 151

习题5-2 152

5-3　定积分的换元积分法和分部积分法 153

一、定积分的换元积分法 153

二、定积分的分部积分法 157

习题5-3 158

5-4　广义积分 159

一、无穷区间上的广义积分 160

二、被积函数有无穷间断点的广义积分 162

习题5-4 164

5-5　定积分的几何应用 164

一、定积分的元素法 164

二、平面图形的面积 165

三、体积 168

四、平面曲线的弧长 171

习题5-5 173

5-6　定积分在物理学上的应用 175

一、变力沿直线所作的功 175

二、静水的压力 176

三、电学上的应用 178

习题5-6 179

第六章　常微分方程 181

6-1　微分方程的基本概念 181

一、引例 181

二、微分方程及其解 182

习题6-1 184

6-2　可分离变量的微分方程 185

习题6-2 187

6-3　齐次微分方程 188

习题6-3 192

6-4　一阶线性微分方程 192

一、一阶线性微分方程 192

二、贝努利方程 196

习题6-4 197

6-5　可降阶的高阶微分方程 198

一、y(n)=f（x）型微分方程 198

二、y″=f（x,y′）型微分方程 199

三、y″=f（y,y′）型微分方程 200

习题6-5 202

6-6　二阶线性微分方程的解的结构 203

一、二阶线性微分方程的基本概念 203

二、二阶线性齐次微分方程的解的结构 203

三、二阶线性非齐次微分方程的解的结构 205

习题6-6 207

6-7　二阶常系数线性微分方程 207

一、二阶常系数线性齐次方程 207

二、二阶常系数线性非齐次方程 212

习题6-7 217

附录　积分表 219

习题答案（上册） 231

下册 247

第七章　无穷级数 247

7-1　数项级数 247

一、数项级数的概念 247

二、数项级数的性质 250

三、级数收敛的必要条件 251

习题7-1 252

7-2　数项级数的审敛法 253

一、正项级数及其审敛法 253

二、交错级数及其审敛法 257

三、任意项级数及其审敛法 259

习题7-2 260

7-3　幂级数 261

一、函数项级数的一般概念 261

二、幂级数及其收敛区间 262

三、幂级数的运算 267

习题7-3 269

7-4　函数展开成幂级数 269

一、泰勒（Taylor）级数 269

二、直接展开法 272

三、间接展开法 278

习题7-4 279

7-5　傅立叶级数 280

一、三角函数系的正交性 280

二、函数展开为傅立叶级数 281

习题7-5 288

7-6　函数的周期延拓 288

一、函数f（x）只在区间［-π,π］上有定义 289

二、函数f（x）只在区间［0,π］上有定义 290

习题7-6 292

7-7　周期为2l的周期函数展开成傅立叶级数 292

一、周期为2l的函数f（x）展成傅立叶级数 293

二、周期为2l的奇、偶函数f（x）展成傅立叶级数 294

三、只在［-l,l］或（0,l）上有定义的函数f（x）展成傅立叶级数 294

习题7-7 297

7-8　傅立叶级数的复数形式 298

习题7-8 301

第八章　拉普拉斯变换 302

8-1　拉氏变换的概念 302

一、拉氏变换的定义 302

二、单位阶梯函数 304

三、狄拉克函数 307

习题8-1 308

8-2　拉氏变换的性质 309

习题8-2 316

8-3　拉氏变换的逆变换 318

一、拉氏逆变换的定义 318

二、拉氏逆变换的性质 319

三、部分分式法 320

习题8-3 324

8-4　拉氏变换的应用 325

习题8-4 328

第九章　线性代数 330

9-1 n阶行列式的定义 330

一、二阶和三阶行列式 330

二、n阶行列式 333

习题9-1 337

9-2　行列式的性质与计算 337

一、行列式的基本性质 337

二、行列式的运算 342

三、行列式的证明 344

习题9-2 345

9-3　克莱姆法则 347

一、克莱姆法则 347

二、用克莱姆法则讨论线性方程组的解 349

习题9-3 350

9-4　矩阵的概念和矩阵的运算 351

一、矩阵的基本概念 351

二、矩阵的运算 353

习题9-4 362

9-5　逆矩阵 364

一、逆矩阵的概念 364

二、逆矩阵的求法 365

习题9-5 370

9-6　矩阵的初等变换 371

一、矩阵的初等变换 371

二、初等方阵 373

三、用初等变换求逆矩阵 376

习题9-6 378

9-7　矩阵的秩 379

一、矩阵的秩 379

二、利用初等变换求矩阵的秩 380

习题9-7 383

9-8 n维向量 384

一、n维向量的概念 384

二、n维向量的运算 385

三、向量组的线性相关性 386

四、最大线性无关组 389

习题9-8 390

9-9　齐次线性方程组 390

一、齐次线性方程组解的结构 391

二、齐次线性方程组有非零解的条件 392

三、用矩阵的初等行变换求解齐次线性方程组 396

习题9-9 400

9-10　非齐次线性方程组 401

一、非齐次线性方程组 401

二、非齐次线性方程组有解的条件 403

三、用初等行变换求解非齐次线性方程组 404

习题9-10 407

第十章　概率论与数理统计 409

10-1　随机事件 409

一、必然现象和随机现象 409

二、随机事件与样本空间 410

三、事件之间的关系和运算 412

习题10-1 416

10-2　概率的定义 417

一、频率的概念 417

二、概率的统计定义及性质 418

三、古典概型 419

习题10-2 421

10-3　概率的加法公式 422

习题10-3 424

10-4　条件概率、概率的乘法公式、事件的独立性和独立试验概型 424

一、条件概率、概率的乘法公式 424

二、事件的独立性 427

三、贝努利概型 429

习题10-4 431

10-5　随机变量及其分布 432

一、随机变量的概念 432

二、离散型随机变量及其分布列 434

三、连续型随机变量及其密度函数 435

四、随机变量的分布函数 437

习题10-5 439

10-6　几个重要的随机变量分布 440

一、常见的离散型随机变量的分布 440

二、连续型随机变量的分布 445

习题10-6 450

10-7　二维随机变量 450

一、二维随机变量及其分布 450

二、边缘分布 453

三、随机变量的独立性 456

习题10-7 458

10-8　随机变量的数字特征 460

一、随机变量的数学期望 460

二、随机变量的方差 467

三、切比雪夫不等式 472

四、矩 473

习题10-8 473

10-9　总体、样本、统计量 474

一、总体、个体和样本 475

二、统计量 476

习题10-9 478

10-10　抽样分布 478

一、正态分布 479

二、x2分布 481

三、t分布 483

习题10-10 485

10-11　参数估计 486

一、参数的点估计 487

二、参数的区间估计 492

习题10-11 498

10-12　假设检验 499

一、假设检验的基本思想和步骤 499

二、正态总体的参数的假设检验 501

三、非参数假设检验 508

习题10-12 511

10-13　一元线性回归分析与可线性化回归方程 512

一、一元线性回归方程 513

二、线性相关性检验 517

三、可线性化的回归方程 519

习题10-13 522

附录 524

附表1　泊松分布表 524

附表2　标准正态分布表 528

附表3 x2分布表 529

附表4 t分布表 532

附表5　相关系数显著性检验表 533

习题答案（下册） 535

参考文献 551