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第一章 函数 1

1.1 实数概述 1

一 有理数和无理数 1

二 实数的几何表示 3

三 绝对值和绝对值不等式 4

四 区间 5

1.2 函数概念 8

一 函数定义 8

二 函数概念的进一步说明 9

三 函数表示法 10

1.3 几种特殊的函数 13

一、有界函数 13

二 单调函数 15

三 奇函数与偶函数 16

四 周期函数 17

1.4 函数的运算 21

一 函数的四则运算 21

二 复合函数 22

三 反函数、多值函数 24

1.5 初等函数 29

一 基本初等函数 29

二 初等函数 30

三 双曲函数 30

第二章 极限 32

2.1 数列极限 32

一 数列的概念 32

二 数列的极限 35

三 证明数列极限的方法与例题 33

2.2 收敛数列的性质 44

一 收敛数列的性质 44

二 极限的四则运算 48

2.3 单调有界法则 54

一 上、下确界与确界存在公理 54

二 单调有界数列的极限 56

2.4 数列柯西收敛准则 61

一 闭区间套定理与有界数列的收敛子数列 61

二 数列柯西收敛准则 65

2.5 函数极限 70

一 当x→∞时，函数f（x）的极限 70

二 当x→a时，函数f（x）的极限 74

三 证明函数极限的方法与例题 79

2.6 函数极限定理 87

一 函数极限的性质 87

二 函数极限与数列极限的关系 90

三 函数极限存在的法则 92

2.7 两个重要极限 95

一 第一个重要极限：limx→0sinx/x=1 95

二 第二个重要极限：lim(1+1/x)x=e 97

2.8 无穷小量与无穷大量·阶的比较 100

一 无穷小量 100

二 无穷小量阶的比较 102

三 无穷大量 106

第三章 函数的连续性 111

3.1 连续性概念 111

一 函数在一点的连续性 111

二 函数在区间上的连续性 115

三 间断点及其分类 115

3.2 闭区间上连续函数的性质 120

一 有限复盖定理与聚点定理 120

二 闭区间上连续函数的基本性质 128

3.3 初等函数的连续性 133

一 连续函数的性质和四则运算 133

二 初等函数的连续性 136

3.4 函数的一致连续性 139

一 一致连续性概念 139

二 一致连续性定理 142

第四章 导数与微分 149

4.1 导数概念 149

一 问题的提出 149

二 导数的定义 152

三 单侧导数 155

四 导函数 157

五 导数的几何意义 160

4.2 求导法则及导数公式 162

一 导数的四则运算 162

二 反函数的导数 166

三 复合函数的导数 168

四 初等函数的导数 174

4.3 隐函数与参数方程求导法则 179

一 隐函数求导法则 180

二 参数方程求导法则 182

4.4 微分 186

一 微分概念 186

二 微分的运算法则和公式 189

三 近似计算与误差估计 193

4.5 高阶导数与高阶微分 197

一 高阶导数 197

二 高阶微分 205

第五章 微分学基本定理及其应用 205

5.1 中值定理 209

一 费尔马定理 209

二 中值定理 211

5.2 洛必达法则 222

一 0/0型不定式 223

二 ∞/∞型不定式 226

三 其他类型的不定式 230

5.3 泰勒公式 235

一 泰勒公式 235

二 泰勒公式的余项 238

三 常用的几个展开式 241

5.4 函数的单调性与极值 246

一 函数的单调性 246

二 函数的极值 252

三 函数的最大值与最小值 258

5.5 函数的图象 263

一 曲线的凹凸性 264

二 曲线的渐近线 269

三 函数图象的讨论 273

附录 希腊字母表 281

习题及总练习题答案 283