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第1章 函数 1

1.1预备知识 1

1.1.1常量与变量 1

1.1.2实数集 区间与邻域 1

习题1.1 4

1.2函数的概念及其表示方法 5

1.2.1对应规则 5

1.2.2函数的概念 6

1.2.3函数的几种典型表示方法 7

思考题1.2 10

习题1.2 10

1.3函数的几种特性 10

1.3.1有界性 10

1.3.2奇偶性 11

1.3.3周期性 12

1.3.4单调性 12

思考题1.3 13

习题1.3 14

1.4初等函数 14

1.4.1基本初等函数及其图像 14

1.4.2复合函数 18

1.4.3初等函数的概念 19

思考题1.4 20

习题1.4 20

1.5典型函数与建立函数关系举例 20

1.5.1几个常用的典型函数 20

1.5.2建立函数关系举例 23

习题1.5 24

复习题一 25

第2章 极限与连续 28

2.1数列极限的概念与性质 28

2.1.1数列的概念 28

2.1.2数列极限的概念 29

2.1.3数列极限的性质 34

思考题2.1 36

习题2.1 36

2.2函数极限的概念与性质 37

2.2.1 x趋于无穷大时函数的极限 37

2.2.2 x趋于有限值x0时函数的极限 39

2.2.3函数极限的性质 42

思考题2.2 43

习题2.2 43

2.3极限的四则运算及极限存在准则 44

2.3.1极限的四则运算 44

2.3.2极限存在准则 47

2.3.3两个重要极限 49

思考题2.3 52

习题2.3 52

2.4无穷小与无穷大 53

2.4.1无穷小及其性质 53

2.4.2无穷小的比较 54

2.4.3无穷大 56

思考题2.4 58

习题2.4 58

2.5函数的连续性 58

2.5.1函数的改变量 58

2.5.2连续函数的概念 59

2.5.3函数的间断点及其分类 61

思考题2.5 63

习题2.5 63

2.6连续函数的运算与初等函数的连续性 63

2.6.1连续函数和、差、积、商的连续性 64

2.6.2反函数与复合函数的连续性 64

2.6.3初等函数的连续性 65

思考题2.6 66

习题2.6 67

2.7闭区间上连续函数的基本性质 67

2.7.1最值定理 67

2.7.2介值定理 68

思考题2.7 69

习题2.7 69

复习题二 69

第3章 一元函数微分学 72

3.1导数的概念 72

3.1.1背景材料 72

3.1.2导数的概念 73

3.1.3基本初等函数的求导公式 76

3.1.4可导与连续 77

思考题3.1 78

习题3.1 78

3.2导数的运算 79

3.2.1导数的四则运算法则 79

3.2.2反函数的求导法则 80

3.2.3复合函数求导法则 81

3.2.4几个典型求导方法 84

思考题3.2 87

习题3.2 87

3.3高阶导数 88

3.3.1高阶导数的概念 88

3.3.2典型函数的高阶导数 89

思考题3.3 91

习题3.3 91

3.4微分及其运算 92

3.4.1微分的概念 92

3.4.2可微与可导的关系 93

3.4.3微分的基本公式与四则运算 94

3.4.4一阶微分形式的不变性 95

3.4.5微分在近似计算中的应用 95

思考题3.4 96

习题3.4 96

3.5微分中值定理 97

3.5.1费马定理 97

3.5.2拉格朗日中值定理 98

3.5.3柯西中值定理 102

3.5.4泰勒公式 102

思考题3.5 106

习题3.5 106

3.6洛比达法则 106

3.6.1 0/0型不定式 107

3.6.2 ∞/∞型不定式 108

3.6.3其他不定式 109

思考题3.6 110

习题3.6 110

3.7函数单调性与极值判定 111

3.7.1函数单调性判定 111

3.7.2函数极值判定 112

3.7.3闭区间上连续函数最值的求法 115

思考题3.7 115

习题3.7 115

3.8曲线的凹凸性与函数作图 116

3.8.1曲线的凸性与拐点 116

3.8.2曲线的渐近线 118

3.8.3函数作图举例 119

习题3.8 120

3.9曲率 120

3.9.1弧的微分 121

3.9.2曲率 121

3.9.3曲率圆 123

习题3.9 124

3.10 应用微分学进行建模举例 124

3.10.1实际问题中的最值 124

3.10.2导数在电路计算中的应用 125

3.10.3方程的近似根 126

习题3.10 129

复习题三 129

第4章 一元函数积分学 132

4.1原函数的概念及原函数的性质 132

4.1.1原函数及原函数族 132

4.1.2不定积分的性质 134

4.1.3不定积分的基本积分公式 135

思考题4.1 137

习题4.1 137

4.2求原函数的两种常用方法 138

4.2.1换元法 138

4.2.2分部积分法 144

思考题4.2 147

习题4.2 147

4.3几种典型函数的原函数求法举例 149

4.3.1有理函数原函数求法举例 149

4.3.2简单无理函数原函数求法举例 150

4.3.3典型三角函数原函数求法举例 152

习题4.3 154

4.4定积分的概念及定积分的性质 154

4.4.1定积分的概念 154

4.4.2定积分的性质 159

思考题4.4 161

习题4.4 162

4.5微积分基本定理 162

4.5.1变上限积分 162

4.5.2微积分基本定理 163

4.5.3微积分基本公式 165

思考题4.5 166

习题4.5 166

4.6定积分的积分方法 167

4.6.1定积分的换元法 167

4.6.2定积分的分部积分法 170

思考题4.6 172

习题4.6 173

4.7广义积分 174

4.7.1无穷区间上的积分 174

4.7.2瑕积分 176

思考题4.7 177

习题4.7 178

4.8积分学的实际应用与建模举例 178

4.8.1微元法 178

4.8.2定积分的几何应用 179

4.8.3定积分的物理应用 184

4.8.4建模举例 188

思考题4.8 191

习题4.8 191

复习题四 191

第5章 常微分方程 194

5.1微分方程的一般概念 194

5.1.1引例 194

5.1.2微分方程的一般概念 195

思考题5.1 196

习题5.1 197

5.2几种典型一阶微分方程的解法 197

5.2.1可分离变量的一阶微分方程 197

5.2.2一阶线性微分方程 199

思考题5.2 202

习题5.2 202

5.3几种可降阶的二阶微分方程 203

5.3.1y″＝f（x）型 203

5.3.2y″＝f（x，y′）型 204

5.3.3y″＝f（y，y′）型 204

思考题5.3 206

习题5.3 206

5.4二阶常系数线性齐次微分方程 206

5.4.1二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构 207

5.4.2二阶常系数线性齐次微分方程的解法 208

思考题5.4 210

习题5.4 210

5.5二阶常系数线性非齐次微分方程 211

5.5.1二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构及特解的可叠加性 211

5.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 213

习题5.5 218

5.6微分方程应用建模举例 218

5.6.1一阶方程的应用举例 218

5.6.2二阶方程的应用举例 221

思考题5.6 224

习题5.6 225

复习题五 225

习题及复习题参考答案（上） 228