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第一章 数学之魂 1

第一节 数学的对象与内容 3

1.1.1数与形——万物之本 4

1.1.2结构与模式——万物之理 4

第二节 数学的方法与特点 10

1.2.1数学理论的建立方式 10

1.2.2数学的思考方式 13

1.2.3数学的特点及其对人的素质的影响 14

第二章 数学之功 18

第一节 数学的功能 19

2.1.1数学的实用功能 19

2.1.2数学的教育功能 19

2.1.3数学的语言功能 20

2.1.4数学的文化功能 21

第二节 数学的价值 22

2.2.1数学与个人成长 22

2.2.2数学与人类生活 26

2.2.3数学与科技发展 28

2.2.4数学与社会进步 29

第三章 数学之旅 31

第一节 数学的分类 32

3.1.1从历史看数学 32

3.1.2从对象与方法看数学 34

第二节 数学分支发展概况 36

3.2.1几何学通论 36

3.2.2代数学大观 40

3.2.3分析学大意 43

3.2.4随机数学一瞥 46

3.2.5模糊数学概览 48

3.2.6可拓学——中国人自己创立的新学科 48

第三节 数学形成与发展的因素与轨迹 50

3.3.1数学形成与发展的因素 50

3.3.2数学发展的轨迹 51

第四章 数学之美 52

第一节 数学、哲学与美学 53

4.1.1数学与哲学 53

4.1.2美学、美的本质与特征 54

4.1.3数学美的根源 55

4.1.4数学美的基本特征 55

第二节 数学方法之美 59

4.2.1认识论的飞跃——以有限认识无限 59

4.2.2演绎法之美——以简单论证复杂 61

4.2.3类比法之美——他山之石，可以攻玉 61

4.2.4此处无形胜有形——存在性问题的证明 62

4.2.5从低级数学到高级数学——一览众山小 63

第三节 数学结论之美 65

4.3.1三角形之美与正多面体 66

4.3.2圆形之美与三角函数 72

4.3.3矩形之美与黄金分割 80

4.3.4自然对数的底与五个重要常数 88

4.3.5方圆合一，自然规律 93

第五章 数学之趣 96

第一节 勾股定理与勾股数趣谈 97

5.1.1千古第一定理——勾股定理 97

5.1.2从几何观点看勾股定理 99

5.1.3从代数观点看勾股定理——勾股数与不定方程 101

5.1.4勾股数的特殊性质 104

第二节 悖论及其对数学发展的影响 107

5.2.1悖论的定义与起源 107

5.2.2悖论对数学发展的影响——三次数学危机 110

5.2.3几种常见悖论 116

5.2.4如何看待悖论 121

第三节 数学与游戏 123

5.3.1一种民间游戏——“取石子” 124

5.3.2改变一下游戏规则 124

5.3.3用二进制来解决 126

5.3.4“取石子”的变种——“躲30”游戏 127

5.3.5结语 128

第六章 数学之妙 129

第一节 数学归纳法原理 130

6.1.1数学归纳法及其理论基础 130

6.1.2数学归纳法的变形 132

6.1.3归纳法在几何上的一个应用——两色定理 135

6.1.4归纳法趣谈 135

第二节抽屉原理与聚会认友 137

6.2.1抽屉原理的简单形式 137

6.2.2聚会问题 139

6.2.3抽屉原理与计算机算命 141

6.2.4抽屉原理的推广形式 141

第三节 七桥问题与图论 143

6.3.1七桥问题 143

6.3.2图与七桥问题的解决——一笔画定理 144

6.3.3图的其他基本概念与图的简单应用 145

第四节 数学与密码 148

6.4.1密码的由来 148

6.4.2密码联络原理与加密方法 149

6.4.3 RSA编码方法与原理 150

第七章 数学之奇 153

第一节 实数系统 154

7.1.1数系扩充概述 154

7.1.2有理数域Q 157

7.1.3实数域R 161

7.1.4认识超穷数 162

第二节三种几何并存 166

7.2.1泰勒斯——推理几何学的鼻祖 166

7.22欧几里得几何 167

7.2.3第五公设的疑问 169

7.2.4第一种非欧几何——罗巴切夫斯基几何 170

7.2.5第二种非欧几何——黎曼几何 172

7.2.6三种几何学的模型与结论对比 173

7.2.7非欧几何产生的重大意义 175

第三节 河图、洛书与幻方 176

7.3.1幻方起源 177

7.3.2幻方分类 177

7.3.3幻方构造 178

7.3.4幻方欣赏 181

第八章 数学之问 184

第一节 古代几何作图三大难题 186

8.1.1诡辩学派与几何作图 186

8.1.2三个传说 187

8.1.3三大作图难题的解决 189

8.1.4“不可能”与“未解决” 190

8.1.5放宽作图工具 191

8.1.6两千年历史的启示 193

第二节 费马大定理 194

8.2.1费马与费马猜想 194

8.2.2无穷递降法：n＝3、4的费马大定理证明 195

8.2.3第一次重大突破与悬赏征解 198

8.2.4第二次重大突破 198

8.2.5费马大定理的最后证明 199

8.2.6费马大定理的推广 200

第三节 哥德巴赫猜想 202

8.3.1数的分解与分拆问题 202

8.3.2哥德巴赫猜想 203

8.3.3哥德巴赫猜想的研究 204

8.3.4陈氏定理 206

8.3.5附记 207

第四节 四色猜想 208

8.4.1四色猜想的来历 208

8.4.2艰难历程百余年 209

8.4.3欧拉公式 211

8.4.4五色定理的证明 213

第五节 庞加莱猜想 215

8.5.1百年猜想 216

8.5.2从空间维数谈起 216

8.5.3拓扑学 218

8.5.4庞加莱猜想 219

8.5.5进展 220

8.5.6佩雷尔曼的重大突破 221

8.5.7瑟斯顿几何化猜想 221

8.5.8哈密尔顿的Ricci流 222

8.5.9一个完整的证明 223

第六节 七个千禧年数学难题及其他 224

8.6.1 Riemann猜想（Riemann假设） 224

8.6.2 Poincare猜想 225

8.6.3 P对NP问题 225

8.6.4 Hodge猜想 226

8.6.5 Yang-Mills场的存在性和质量缺口 226

8.6.6 Navier-Stokes方程的存在性与光滑性 227

8.6.7 Birch和Swinnerton-Dyer猜想 227

8.6.8两个数论难题 227

附录A国际性数学奖简介 229

附录B国际性数学奖一览表 232

附录C人名索引 233

主要参考文献 238