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第1章 函数 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的表示方法 1

1.1.3 集合间的关系 2

1.1.4 集合的运算 2

1.2 实数 3

1.2.1 实数与数轴 3

1.2.2 绝对值 3

1.2.3 区间与邻域 4

1.3 函数 5

1.3.1 函数的相关概念 5

1.3.2 函数的表示方法 5

1.3.3 函数的性质 7

1.4 反函数与复合函数 8

1.4.1 反函数 8

1.4.2 复合函数 10

1.5 基本初等函数与初等函数 10

1.5.1 基本初等函数 10

1.5.2 初等函数 15

1.6 经济学中几个常见函数 15

1.6.1 总成本函数、总收益函数和总利润函数 15

1.6.2 需求函数和供给函数 16

习题1 18

第2章 极限与连续 22

2.1 数列 22

2.1.1 数列的定义 22

2.1.2 数列的极限 22

2.1.3 收敛数列的性质 25

2.2 函数的极限 26

2.2.1 x→x 0时函数f（x）的极限 27

2.2.2 x→∞时函数f（x）的极限 29

2.2.3 函数极限的性质 31

2.2.4 极限概念小结 31

2.3 无穷小与无穷大 32

2.3.1 无穷小的概念 32

2.3.2 无穷小的运算性质 33

2.3.3 无穷大的概念 34

2.3.4 无穷小与无穷大的关系 35

2.3.5 无穷小的比较 35

2.4 极限运算法则 36

2.4.1 极限的四则运算法则 36

2.4.2 法则的应用 38

2.5 极限存在性定理与两个重要极限 41

2.5.1 极限存在性定理 41

2.5.2 两个重要极限 43

2.6 函数的连续性 46

2.6.1 连续与间断的概念 46

2.6.2 连续函数的性质 49

2.6.3 利用函数连续性求极限 50

2.6.4 闭区间上连续函数的性质 51

习题2 53

第3章 导数与微分 57

3.1 导数的概念 57

3.1.1 两个经典问题——速度与切线 57

3.1.2 导数的定义 58

3.1.3 左、右导数 60

3.1.4 导数的几何意义 61

3.1.5 可导与连续的关系 61

3.2 求导法则 63

3.2.1 和、差、积、商的导数 63

3.2.2 复合函数的导数 65

3.2.3 反函数的导数 66

3.2.4 隐函数的导数 67

3.2.5 取对数求导法 68

3.2.6 基本导数公式和基本求导法则 69

3.3 高阶导数 69

3.4 函数的微分 71

3.4.1 微分的概念 71

3.4.2 微分的几何意义 73

3.4.3 微分的基本公式与运算法则 73

3.4.4 微分的应用 74

习题3 74

第4章 微分中值定理与导数的应用 79

4.1 微分中值定理 79

4.1.1 费马（Fermat）定理 79

4.1.2 罗尔（Rolle）中值定理 80

4.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理 81

4.1.4 柯西（Cauchy）中值定理 83

4.2 洛必达法则 84

4.2.1 0/0型未定式 85

4.2.2 ∞/∞型未定式 86

4.2.3 其它类型未定式 86

4.3 函数的单调性、极值与最值 88

4.3.1 函数的单调性 88

4.3.2 函数的极值 89

4.3.3 函数的最值 91

4.4 曲线的凸性与拐点 92

4.5 函数作图 94

4.5.1 曲线的渐近线 94

4.5.2 函数图形的作法 96

4.6 导数在经济学中的应用 97

4.6.1 边际分析 97

4.6.2 弹性分析 98

4.6.3 函数的极值与最值的实际应用问题 100

习题4 101

第5章 不定积分 105

5.1 不定积分的概念与性质 105

5.1.1 原函数的概念 105

5.1.2 不定积分的概念 106

5.1.3 不定积分的基本性质 107

5.1.4 基本积分公式 108

5.1.5 直接积分法 108

5.2 换元积分法 110

5.2.1 第一类换元法（凑微分法） 110

5.2.2 第二类换元法 116

5.3 分部积分法 120

5.4 有理函数的积分 123

5.4.1 真分式的分解 124

5.4.2 最简分式的积分 125

习题5 126

第6章 定积分 130

6.1 定积分的概念 130

6.1.1 定积分问题举例 130

6.1.2 定积分的定义 132

6.1.3 定积分的几何意义 133

6.2 定积分的性质 134

6.3 微积分基本公式 136

6.3.1 引例 136

6.3.2 原函数存在定理 136

6.3.3 牛顿-莱布尼茨公式 138

6.4 定积分的换元积分法与分部积分法 140

6.4.1 定积分的换元积分法 140

6.4.2 定积分的分部积分法 143

6.5 反常积分 144

6.5.1 无穷限积分 144

6.5.2 瑕积分 145

6.6 定积分的几何应用 147

6.6.1 微元法 147

6.6.2 平面图形的面积 148

6.6.3 立体的体积 149

6.6.4 定积分在经济学中的简单应用 151

习题6 152

第7章 多元函数微积分 157

7.1 空间解析几何基础知识简介 157

7.1.1 空间直角坐标系 157

7.1.2 平面区域的概念及解析表示 158

7.2 多元函数的概念 159

7.2.1 多元函数的定义 159

7.2.2 二元函数的极限 160

7.2.3 二元函数的连续性 161

7.3 偏导数与全微分 162

7.3.1 偏导数 162

7.3.2 全微分 164

7.3.3 高阶偏导数 167

7.4 多元复合函数与隐函数微分法 168

7.4.1 多元复合函数微分法 168

7.4.2 隐函数微分法 171

7.5 多元函数的极值与最值 173

7.5.1 多元函数的极值 173

7.5.2 多元函数的最值 174

7.5.3 条件极值与拉格朗日乘数法 175

7.6 二重积分 177

7.6.1 二重积分的概念 178

7.6.2 二重积分的性质 179

7.6.3 二重积分的计算 180

习题7 187

第8章 无穷级数 192

8.1 常数项级数的概念与性质 192

8.1.1 常数项级数的概念 192

8.1.2 常数项级数的基本性质 194

8.2 正项级数的敛散性 196

8.3 任意项级数的敛散性 202

8.4 幂级数 204

8.4.1 函数项级数的概念 204

8.4.2 幂级数及其收敛性 205

8.4.3 幂级数的和函数 209

8.5 泰勒公式与幂级数展开 210

8.5.1 泰勒（Taylor）公式 210

8.5.2 函数的幂级数展开 212

习题8 215

第9章 微分方程与差分方程初步 220

9.1 微分方程的基本概念 220

9.1.1 微分方程的定义 220

9.1.2 微分方程的解 220

9.2 可分离变量的方程 221

9.3 齐次方程 223

9.3.1 齐次方程的解法 223

9.3.2 可化为齐次方程的微分方程 225

9.4 一阶线性微分方程 226

9.4.1 一阶齐次线性微分方程的通解 226

9.4.2 一阶非齐次线性微分方程的通解 226

9.5 线性微分方程解的基本性质和结构定理 228

9.6 二阶常系数线性微分方程 229

9.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程 230

9.6.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 231

9.7 差分方程初步 233

9.7.1 差分定义 233

9.7.2 差分方程的基本概念 234

9.7.3 线性差分方程解的性质与结构定理 234

9.7.4 一阶常系数线性差分方程 235

习题9 237

附录 241

参考答案 245

参考文献 260