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第1章 函数 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 特殊集合：空集、全集和幂集 2

1.1.3 集合间的关系 2

1.1.4 集合的基本运算 3

1.1.5 集合的笛卡儿乘积 6

习题1.1 6

1.2 实数集及其子集 7

1.2.1 实数与实数集 7

1.2.2 实数的绝对值 7

1.2.3 常用实数集：区间与邻域 8

习题1.2 9

1.3 函数的概念 9

1.3.1 集合的概念 9

1.3.2 函数的几种特性 10

习题1.3 12

1.4 几类特殊函数 12

1.4.1 分段函数 12

1.4.2 反函数 13

1.4.3 复合函数 13

1.4.4 初等函数 14

习题1.4 18

1.5 常用经济数学模型及其函数 18

1.5.1 需求函数 18

1.5.2 供给函数 18

1.5.3 成本函数 19

1.5.4 收益函数 19

习题1.5 20

数学家简介——笛卡儿 20

第2章 一元函数的极限 22

2.1 数列极限的概念 22

2.1.1 古代极限思想 22

2.1.2 数列极限的概念 22

习题2.1 25

2.2 收敛数列的性质 25

2.2.1 极限的唯一性 25

2.2.2 收敛数列有界性 25

2.2.3 收敛数列保号性 26

2.2.4 四则运算性质 26

习题2.2 28

2.3 数列收敛的判定定理 28

2.3.1 夹逼定理（两边夹定理） 28

2.3.2 单调有界定理 29

2.3.3 子数列 30

2.3.4 柯西收敛准则 31

习题2.3 31

2.4 函数的极限 32

2.4.1 自变量x→+∞时函数的极限 33

2.4.2 自变量x→x0时函数的极限 34

习题2.4 36

2.5 函数极限的主要性质 37

习题2.5 39

2.6 函数极限存在的判定准则 41

2.6.1 归结原则 41

2.6.2 夹逼定理 42

2.6.3 函数极限的柯西准则 43

习题2.6 44

2.7 两个重要极限 44

2.7.1 重要极限1 44

2.7.2 重要极限2 45

习题2.7 47

2.8 无穷大和无穷小 48

2.8.1 无穷大 48

2.8.2 无穷小 49

2.8.3 无穷小与无穷大的关系 52

习题2.8 52

数学家简介——伯努利家族 53

第3章 一元函数的连续性 56

3.1 函数连续的概念 56

3.1.1 函数f（x）在某一点x0的连续 56

3.1.2 函数的间断点及其分类 58

3.1.3 区间上的连续函数 59

习题3.1 59

3.2 连续函数的性质与运算 60

3.2.1 连续函数的性质 60

3.2.2 初等函数的连续性 61

3.2.3 闭区间上连续函数的重要性质 62

习题3.2 63

数学家简介——高斯 64

第4章 一元函数的导数与微分 67

4.1 导数的引例 67

4.1.1 变速直线运动的瞬时速度 67

4.1.2 曲线切线的斜率 67

4.2 导数概念 68

4.2.1 函数在某点处的导数 68

4.2.2 函数在区间上的导（函）数 72

习题4.2 73

4.3 导数的运算法则及其基本公式 74

4.3.1 导数的四则运算 75

4.3.2 复合函数的求导法则 76

4.3.3 反函数的求导法则 76

4.3.4 隐函数的求导法则 78

4.3.5 对数求导法 79

4.3.6 参数变量函数的导数 80

4.3.7 基本初等函数求导公式汇总 80

习题4.3 82

4.4 高阶导数 83

4.4.1 高阶导数的概念 84

4.4.2 高阶导数的运算与性质 84

习题4.4 85

4.5 函数的微分 86

4.5.1 微分的定义 86

4.5.2 微分的运算法则 87

4.5.3 微分的基本公式 88

习题4.5 89

4.6 导数与微分的应用案例 89

4.6.1 在近似计算中的应用 89

4.6.2 经济应用问题举例 90

习题4.6 91

数学家简介——罗尔 91

第5章 中值定理及导数的应用 93

5.1 微分中值定理 93

5.1.1 罗尔定理 93

5.1.2 拉格朗日中值定理 95

5.1.3 柯西中值定理 98

习题5.1 99

5.2 洛必达法则 100

5.2.1 基本未定式0/0型 100

5.2.2 基本未定式∞/∞型 102

5.2.3 其他型未定式 103

习题5.2 106

5.3 函数单调性判别法 107

5.3.1 函数的单调性 107

5.3.2 函数单调性的判别 110

习题5.3 112

5.4 函数的极值及其求法 112

习题5.4 117

5.5 函数的最值及其求法 118

习题5.5 123

5.6 曲线的凹向与拐点 123

习题5.6 127

5.7 曲线的渐近线 127

习题5.7 129

5.8 函数图形的描绘 129

习题5.8 132

5.9 导数在经济分析中的应用 132

5.9.1 导数的经济意义 132

5.9.2 弹性分析及其应用案例 134

习题5.9 136

数学家简介——拉格朗日 136

第6章 不定积分 138

6.1 不定积分的概念 138

6.1.1 原函数与不定积分的概念 138

6.1.2 不定积分的几何意义 140

习题6.1 141

6.2 不定积分的基本性质与积分公式 141

6.2.1 基本性质 141

6.2.2 基本积分公式 143

习题6.2 145

6.3 求不定积分的方法 145

6.3.1 换元积分法 145

6.3.2 分部积分法 148

习题6.3 151

6.4 有理函数和无理函数积分的求法 152

6.4.1 有理函数的积分 152

6.4.2 简单无理函数的积分 153

习题6.4 154

6.5 不定积分应用举例 155

习题6.5 155

数学家简介——柯西 155

第7章 定积分及其应用 158

7.1 定积分的概念与性质 158

7.1.1 引例 158

7.1.2 定积分的定义 161

7.1.3 定积分存在定理可积函数类 162

7.1.4 定积分的几何意义 162

7.1.5 定积分的性质 163

习题7.1 165

7.2 微积分基本定理 166

7.2.1 变上限定积分及其导数 166

7.2.2 牛顿-莱布尼兹公式 167

习题7.2 168

7.3 求定积分的方法 169

7.3.1 定积分的换元积分法 169

7.3.2 定积分的分部积分法 171

习题7.3 172

7.4 定积分的几何应用 173

7.4.1 平面图形的面积 174

7.4.2 旋转体的体积 175

7.4.3 已知平面截面积的立体的体积 176

7.4.4 平面曲线的弧长 177

习题7.4 178

7.5 定积分的经济应用 179

7.5.1 由边际函数求原函数 179

7.5.2 由变化率求总量 179

7.5.3 收益流的现值和将来值 180

习题7.5 181

7.6 定积分其他方面的应用 181

7.6.1 函数的算术平均值 181

7.6.2 函数的加权平均值 182

7.6.3 变力沿直线所作的功 183

7.6.4 压力问题 183

7.6.5 变速运动 184

习题7.6 185

数学家简介——牛顿 185

第8章 无穷级数 188

8.1 无穷级数的概念 188

习题8.1 189

8.2 无穷级数的性质 190

8.2.1 收敛级数的基本性质 190

8.2.2 无穷级数的应用案例 192

习题8.2 192

8.3 正项级数 192

8.3.1 正项级数的概念 192

8.3.2 正项级数敛散性的判别 193

习题8.3 197

8.4 任意项级数 198

8.4.1 交错级数及其敛散性的判别 198

8.4.2 绝对收敛与条件收敛 199

习题8.4 200

8.5 幂级数 202

8.5.1 幂级数的概念 202

8.5.2 幂级数的敛散性 202

习题8.5 204

8.6 泰勒公式与函数的幂级数展开式 205

8.6.1 泰勒中值定理的引入 205

8.6.2 泰勒定理 205

8.6.3 泰勒级数与麦克劳林级数 207

8.6.4 函数展开成幂级数的方法 209

习题8.6 211

8.7 级数理论的应用 211

8.7.1 函数的幂级数展开式应用——近似计算 211

8.7.2 级数在经济学上的应用 212

习题8.7 213

数学家简介——莱布尼兹 213

第9章 多元函数微积分理论 215

9.1 空间解析几何简介 215

9.1.1 空间直角坐标系 215

9.1.2 空间两点间的距离 215

9.1.3 空间曲面及其方程 216

习题9.1 218

9.2 多元函数的基本概念 218

9.2.1 平面点集 218

9.2.2 多元函数的概念 219

习题9.2 220

9.3 二元函数的极限与连续 221

9.3.1 二元函数的极限 221

9.3.2 二元函数的连续性 223

9.3.3 二元连续函数的性质 224

9.3.4 多元初等函数的连续性 225

习题9.3 225

9.4 偏导数 226

9.4.1 偏导数的概念及其计算 226

9.4.2 偏导数的几何意义 229

9.4.3 偏导数与连续的关系 229

9.4.4 偏导数的经济意义 229

9.4.5 偏导数在经济分析中的应用 230

9.4.6 高阶偏导数 231

习题9.4 233

9.5 全微分 234

9.5.1 全微分的概念 234

9.5.2 函数可微的条件 235

9.5.3 全微分在近似计算中的应用 237

习题9.5 238

9.6 多元复合函数的求导法则 238

9.6.1 中间变量是一元函数的情况 238

9.6.2 中间变量是多元函数的情况 239

习题9.6 241

9.7 多元隐函数的求导法则 241

习题9.7 242

9.8 二元函数的极值、最值及其求法 243

9.8.1 二元函数极值及其求法 243

9.8.2 二元函数的最值及其求法 244

习题9.8 246

9.9 条件极值与拉格朗日乘数法 247

习题9.9 248

9.10 多元函数微积分理论的应用 249

9.10.1 在几何学上的应用 249

9.10.2 在经济上的应用 250

习题9.10 251

数学家简介——傅里叶 252

第10章 广义积分与Euler积分 253

10.1 广义积分的提出背景 253

10.2 无穷区间上的广义积分 254

10.2.1 无穷区间上广义积分的概念 254

10.2.2 无穷区间上广义积分的性质 256

10.2.3 无穷区间上广义积分的敛散性判别法 257

习题10.2 258

10.3 有限区间上无界函数的广义积分（瑕积分） 259

10.3.1 有限区间上无界函数的广义积分的概念 259

10.3.2 无穷限积分的性质 261

10.3.3 无界函数广义积分的敛散性判别法 262

习题10.3 262

10.4 Euler积分 264

10.4.1 Euler第一型积分：B函数B（p,q） 264

10.4.2 Euler第二型积分：Γ函数Γ（s） 265

10.4.3 Γ函数和B函数的关系 266

习题10.4 266

数学家简介——欧拉 266

第11章 重积分 268

11.1 实际生活中的两个问题案例及其求解思路 268

11.1.1 曲顶柱体的体积 268

11.1.2 平面薄片的质量 269

11.2 二重积分的概念及性质 269

11.2.1 二重积分的概念 269

11.2.2 二重积分的几何意义 271

11.2.3 二重积分的性质 271

习题11.2 272

11.3 二重积分的计算 273

11.3.1 在直角坐标系下二重积分的计算 273

11.3.2 在极坐标系下二重积分的计算 278

习题11.3 281

11.4 二重积分的应用 282

11.4.1 利用二重积分求曲面面积和曲顶柱体的体积 282

11.4.2 平面薄片的重心 284

11.4.3 平面薄片的转动惯量 286

11.4.4 平面薄片对质点的引力 287

习题11.4 287

11.5 三重积分 288

习题11.5 292

数学家简介——泰勒 292

附录A 《高等数学》数学符号及希腊字母中英文发音列表 294

附录B 基于MATLAB数学软件的常用一元函数的图形 295

参考文献 301